Преобразуем теперь условия другой системы.
-
.
-
.
Объединяя полученные условия в одно, имеем:
. На рис. 5 отмечаем пустые клетки этого условия.
-
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Ø
Рис. 5
Сравнивая диаграммы, изображенные на рис.4 и рис.5, замечаем, что все пустые клетки диаграммы (рис.5) также пусты и на диаграмме (рис.4). Следовательно, утверждение верно.
С другой стороны, замечаем, что на рис.4 клетка равна Ø, а на рис.5 – нет, тогда заключаем, что соответствующие условия не равносильны. Действительно, если , то , что противоречит рис.4.
Пример 2. Доказать тождество:
.
Решение. Для доказательства этого тождества воспользуемся диаграммой Венна.
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Рис. 6 Рис. 7
На рис. 6 двойная штриховка задаёт левую часть тождества, причём горизонтальная штриховка задаёт множество , а вертикальная – множество .
На рис. 7 горизонтальная штриховка задаёт множество , вертикальная – множество , тогда заштрихованные каким-либо образом клетки диаграммы задают правую часть тождества.
Таким образом, диаграммы Венна для левой и правой частей тождества совпадают, значит левая и правая части тождества задают одно и тоже множество. Тождество доказано.
§ 4. Уравнения и системы уравнений в алгебре множеств
В алгебре множеств имеется своя теория уравнений, значительно отличающаяся от той, которую мы знаем из курса алгебры. Рассмотрим метод решения одного уравнения с одним неизвестным.
Пусть – подмножества некоторого универсального множества , связанные формулами , где X — неизвестное множество. Множество называется решением уравнения
, (1)
если формулы задают одно и то же множество.
Совокупность всех частных решений есть общее решение уравнения (1).
По лемме 2 уравнение (1) равносильно уравнению:
. (2)
При помощи основных тождеств 1-18 алгебры множеств уравнение (2) приводится к виду:
, (3)
где A , B и C — некоторые множества.
Уравнение (3) равносильно системе условий:
которые в свою очередь можно записать в виде:
(4)
Уравнение (1) имеет решение тогда и только тогда, если A , B и C удовлетворяют следующей системе условий:
, (5)
которая равносильна одному условию:
. (6)
Условия (5) или (6) представляют собой необходимые и достаточные условия существования решения уравнения (1).
Решением является любое множество, удовлетворяющее условию: Нетрудно заметить, что различные решения уравнения получаются при добавлении к “наименьшему” (по числу элементов) решению любых подмножеств разности . Всего таких подмножеств будет – это число различных решений уравнения (1).
Можно записать общее решение “в параметрической форме”: или , где параметр K – произвольное множество из U.
Пример 1. Решить уравнение: .
Найти необходимые и достаточные условия, при которых уравнение имеет решение. Оценить число решений уравнения.
Решение. Данное уравнение равносильно следующему: .
Преобразуем его к уравнению вида (3):
, откуда получаем:
Отсюда необходимые и достаточные условия существования решения следующие:
Первое условие выполнено при любых A и B. Тогда, решение уравнения существует при условии ; решением является любое множество X, удовлетворяющее условию .
Запишем решение в параметрической форме:
, где K – произвольное множество из U. Нетрудно заметить, что так как , то . Таким образом, заключаем, что число различных решений уравнения равно числу подмножеств множества , которое равно .
Проиллюстрируем теперь решение этого примера на диаграмме Венна, причём коэффициенты уравнения будем отмечать по вертикали, а неизвестное X – по горизонтали. Приводим исходное уравнение к виду (3): .
-
(1) Ø
(1,3) Ø
(2) Ø
(3) Ø
Рис. 8
Условие на диаграмме (рис.8) отмечено цифрой 1, условие — цифрой 2, а условие — цифрой 3.
Необходимое и достаточное условие существования решения задаётся множеством тех клеток диаграммы, которые пусты по вертикали и тем самым определяют условие, которое не зависит от X. В нашем примере это условие задаётся двумя клетками, которые соответствуют множеству , т.е..
Решение X образует множество элементов универса, расположенных в двух заштрихованных клетках диаграммы, причём “наименьшим” решением является множество (т.к. ), а “наибольшим” — множество .
Получаем, что решением является любое множество X, удовлетворяющее условиям .
Найдём теперь по диаграмме Венна общее решение в параметрической форме. Объединяя “наименьшее” решение с произвольным подмножеством множества , получаем (т.к. ). Число различных решений уравнения определяется числом подмножеств множества , которое равно .
Рассмотрим решение исходного уравнения для конкретных множеств . Пусть . Тогда , , решение X принадлежит множеству. Получили четыре решения.
Проверка. Подставив в уравнение, получаем.
Ответ: уравнение имеет решение при условии, что .
Системы уравнений с одним неизвестным .
Рассмотрим систему n уравнений с неизвестным X:
,
где .
Каждое из уравнений с помощью тождественных преобразований приведём к равносильному уравнению вида (3):
Объединяя все уравнения в одно, получим:
Таким образом, заданная система уравнений сводится к уравнению вида (3), решение которого мы уже знаем.
Пример 2. Решить систему уравнений:
.
Найти необходимые и достаточные условия, при которых система имеет решение. Оценить число решений системы уравнений.
Решение. При помощи равносильных преобразований приведём исходную систему уравнений к уравнению вида (3).
Таким образом, приходим к уравнению:
.
Решая это уравнение, получаем, что решением является любое множество X, удовлетворяющее условиям , причём решение существует при условии: .
Отсюда получаем необходимое и достаточное условие существования решения системы: .
Запишем теперь решение системы в параметрическом виде: , где параметр K — любое множество универса. Отсюда заключаем, что число решений системы равно числу подмножеств множества , которое равно .
Построим для этого примера диаграмму Венна, цифрой 1 (рис.9) отметим условие , цифрой 2 — условие , а цифрой 3 — условие .
|
|
|
||||||
(1,3) Ø |
(1) Ø |
(1,3) Ø |
(1) Ø |
|
|
|
|
|
(2,3) Ø |
(2) Ø |
(2,3) Ø |
|
(2) Ø |
(2) Ø |
(2) Ø |
|
|
|
||||||||
|
Рис. 9
Три первых пустых столбца диаграммы дают необходимое и достаточное условие существования решения системы. Это условие можно записать в виде
.
Решение X расположено в четырёх заштрихованных клетках диаграммы. “Наименьшее” решение (по числу элементов) можно записать в виде:
, т. к. , а “наибольшее” – в виде: .
Тогда решением X является любое множество, удовлетворяющее условиям: , или в параметрическом виде: , где . Отсюда, число решений системы равно числу подмножеств множества , т.е. .
Проверка. Подставим в систему.
1) ,
.
2) ,
.
Получили, что каждое уравнение системы обращается в тождество.
Ответ: Необходимое и достаточное условие существования решения системы , решением является X – любое множество, удовлетворяющее условиям: , или в параметрическом виде: , где .