Пример.

Рассмотрим пример синтеза конечного автомата в соответствии с описанным алгоритмом.

Пусть требуется построить конечный автомат, в котором для входного алфавита Х, состоящего из двух букв х и у, были бы представлены два события: событие R₁, состоящее из всех слов в алфавите Х, в которых все буквы х предшествуют всем буквам у, и событие R₂, состоящее из всех слов в алфавите Х, которые кончаются буквой х.

Применяя правило 1, записываем заданные события в виде следующих регулярных выражений:

После разметки мест эти выражения приобретут вид:

Применяем правило 2, в результате получим выражения:

В результате применения правила 3 получаем:

Применение правила 4 приводит к построению таблицы переходов 4.1.

Применение правила 5 дает отмеченную таблицу переходов 4.2.

Обозначая выходные сигналы ( ), (R₁), (R₂), (R₁, R₂) соответственно через z, u, v и w и, нумеруя состояния, переходим к отмеченной таблице переходов 4.3.

При интерпретации построенного автомата как автомата Мили в соответствии с правилом 6 мы получим таблицу его выходов 4.4.

Построенные автоматы представляют событие R₁ состояниями 1, 2, 3, а событие R₂ – состояниями 2, 4. Событие R₁ за вычетом содержащегося в нем пустого слова представляется также выходными сигналами u и w, а событие R₂ – выходными сигналами v, w. Состоянием 2 или, что то же самое, выходным сигналом w представлено пересечение событий R₁ и R₂ .

Таблица 4.1

Таблица 4.2

Таблица 4.3

Таблица 4.4

Построенные автоматы представляют событие R1 состояниями 1, 2, 3, а событие R₂ – состояниями 2, 4. Событие R₁ за вычетом содержащегося в нем пустого слова представляется также выходными сигналами u и w, а событие R₂ – выходными сигналами v, w. Состоянием 2 или, что то же самое, выходным сигналом w представлено пересечение событий R₁ и R₂ .

18. Автомат Мили.

Широко распространенный на практике класс автоматов Мили получил свое название по имени американского ученого G. Н. Меаlу, впервые исследовавшего эту модель.

Определение.

Автоматом Мили называется автомат, выходные слова которого зависят как от внутренних состояний автомата, так и от значений входных слов.

Оператор автомата Мили (автомата с памятью) полностью описывается функцией переходов q(t +1) и функцией выходов y(t).

Определение.

Закон функционирования автомата Мили задается уравнениями:

q (t+1) = δ(q(t), x(t)),

y (t) = λ(q(t), x(t)), где t = 0,1,2,…

Конечный автомат А описывается выражением:

А = (Q, X, Y, δ, λ, q₀),

в котором заданы входной и выходной алфавиты, алфавит состояния, а также функции переходов и выходов.

Выделение в множестве состояний конечного автомата А начального состояния q₀ объясняется чисто практическими соображениями, связанными, в первую очередь, с необходимостью фиксировать условия начала работы дискретного устройства. Автомат с выделенным начальным состоянием q₀ называется инициальным.

Многие же задачи можно решать, описывая автомат без начального состояния q₀:

А = (Q, X, Y, δ, λ).

Функцию переходов δ и функцию выходов λ определим на их множестве пар <состояние – входное слово>.

Пусть ξ = x_i1 x_i2 …x_ik – входное слово длины k; Е – множество всех конечных входных слов ненулевой длины; ε – входное слово нулевой длины (пустое слово); для всех .

Тогда функцию заключительного состояния определим в множестве следующем образом: