Определение.

Каждый раз, когда некоторое множество М представлено тем или иным способом как сумма попарно непересекающихся подмножеств, говорят о разбиении множества М на классы.

Обычно разбиения связаны с признаком, по которому элементы множества объединяются в классы.

Ещё примеры:

множество всех треугольников можно разбить на

а) классы равных между собой треугольников;

б) классы равновеликих треугольников и т.д.

все функции от х можно разбить на классы, собирая в один класс функции, принимающие в данной точке одинаковые значения.

Признаки могут быть самыми разнообразными, но их выбор не произволен.

Определение.

Бинарное отношение над множеством М – это подмножество  множества М  М всех упорядоченных пар из М.

Определение.

Бинарным отношением между двумя множествами называется соответствие элементов одного из них элементам другого.

Замечание.

Вместо принадлежности пары (х, y) бинарному отношению , то есть вместо (х, y)   часто используют инфиксную запись, то есть х  y.

Определение.

Бинарное отношение  над М называется рефлексивным, если для всех х  М имеем: (х, х)   или, другими словами,

хх для х  М.

Определение.

Бинарное отношение  над М называется транзитивным, если из (х, y)   и (y, z)    (x, z)   или, в инфексной записи:

если хy и yz, то хz.

Определение.

Для каждого бинарного отношения  над М определено обращение ^Т (обратное отношение), а именно:

(х, y)  ^Т  (y, x)  .

Определение.

Бинарное отношение  над М называется симметричным, если ^Т = , или, в инфиксной записи: если хy, то yx.

Определение.

Бинарное отношение  называется отношением эквивалентности, если оно:

1. рефлексивно;

2. транзитивно;

3. симметрично.

Теорема.

Для того, чтобы бинарное отношение  позволяло разбить множество М на классы необходимо и достаточно, чтобы  было эквивалентным.

Доказательство:

Докажем необходимость утверждения.

Пусть имеется множество М и его разбиение на классы, то есть пусть а и b находятся в одном классе и связаны отношением . Легко видеть, что в классе Ка выполняется:

аа;

если аb и bc, то ас;

если аb (а это так), то ba,

то есть отношение  является эквивалентным.

Докажем достаточность.

Пусть

1.  — отношение эквивалентности между элементами множества М;

2. Ка — класс элементов х  М, эквивалентных элементу а, то есть xa, где  – отношение эквивалентности.

Так как  — отношение эквивалентности, то в силу рефлексивности а  Ка. Докажем, что два класса Ка и Кb либо совпадают, либо не пересекаются. Пусть с  Ка и с  Кb, то есть

са (3)

и

сb. (4)

В силу симметричности из (3) 

ас (5)

и, учитывая (5) и транзитивность  , имеем:

аb . (6)

Для х  Ка по определению имеем

ха . (7)

Учитывая (6): аb и свойство транзитивности из (6) и (7) имеем хb, то есть х  Кb. Аналогично доказывается, что y  Кb одновременно принадлежит и Ка. Таким образом, два класса Ка и Кb, имеющих хотя бы один общий элемент, совпадают между собой. Итак, получено разбиение множества М на классы по заданному отношению эквивалентности, что и требовалось доказать.