Ортогональная классификация кривых и поверхностей 2-го порядка.

(1) xAx+2ax+α=0 –уравнение квадрики.

(2) x=Qy+c detQ0

О. Преобразование (2) наз. изометрией, если матрица Q ортогональная.

(3) F(y)=yBy+2by+β=0

Теорема 1. Если уравнение 3 получено изометрией из уравнения 1, то:

1. Матрица B подобна матрице А и det=det.

Д-во: B=Q^TAQ, Q^T=Q^-1 => B = Q^-1AQ

=> , т.к. det = 1

2) Если преобразование не содрежит сдвига (с=0), то матрица подобна матрице

Д-во: очевидно, поскольку в данном случае будет ортогональной матрицей.

3. Если Q=E и c=..=c=0, то Δ()=Δ() (k=r+1,..,n)

Д-во: В данном случае матрица будет иметь следующий вид:

Рассмотрим произведение . По формуле Бине-Коши получаем, что минор Δ() равен сумме произведений миноров, расположенных в первых k строчках матрицы , и миноров, расположенных в первых k столбцах матрицы ; из последних не равен нулю только угловой минор, он равен 1. Затем умножим на и проведем те же рассуждения.

Следствие. Характеристические многочлены и собственные числа матриц А и В одинаковы, т.к. они подобны.

Собственные числа и сумма главных миноров k-ого порядка матриц А и В – ортогональные инварианты.

Собственные числа и сумма главных миноров k-ого порядка расширенных матриц – ортогональные полуинварианты (с=0).

Теорема 2. Для любого уравнения (1) существует матрица Q такая, что преобразование x=Qy переводит его в (4) =0, где λ и b определяются единственным образом с точностью до перестановки.

Д-во: выделим квадратичную форму и приведем ее к каноническому виду.

Теорема 3. Если ≤r+1, то существует изометрия (2), приводящая уравнение (1) к (5) =0, где λ определяются единственным образом с точностью до перестановки, а β=

Д-во: Применим теорему 2, тогда матрица будет иметь вид:

Заметим, что сдвига мы не осуществляли. Докажем, что b=..=b=0.

Индексацию в матрице будем вести с 0 и до n. (Матрица n+1 порядка)

Рассмотрим в матрице все главные миноры r+1 порядка , где I: 0≤≤n, J: 0≤≤n

Если i>r, то i>r, т.е. две строчки имеют индекс больше r. Но тогда они пропорциональны, а следовательно минор равен 0. Т.о. i≤r. Аналогично для столбцов J.

Возьмем минор r+2 порядка. Если две строчки имеют индексы больше r, то этот минор равен 0.

S - сумма главных миноров r+2 порядка, а из предыдущих рассуждений следует, что I={0,..,r,k}, J={0,..,r,k}, где r+1≤k≤n. Минор с такими строчками равен =

Т.о. S()=S(A)(), но S()=0, т.к. ≤r+1. А это возможно только когда b=..=b=0.

Далее производим следующее преобразование j=1,..,r. Выделяем полные квадраты, линейная часть зануляется.

Тогда матрица перейдет в матрицу , которая имеет вид

Мы осуществляем сдвиг для первых r компонент, поэтому по пункту 3 из теоремы 1

S()=Δ()= Δ()=βS(A) => β=, т.к. S()=S(), т.к. сначала сдвига не делали.

Теорема 4. Если =r+2, то существует изометрия (2), приводящая уравнение (1) к (6) =0, где λ определяются единственным образом с точностью до перестановки, а μ²=-

Д-во: Применим теорему 2. Получим матрицу , которая имеет вид

Далее делаем преобразование j=1,..,r. Матрица примет вид

А уравнение примет вид (4’) =0

Из теоремы 3 следует, что S()=S(A)()

Обозначим μ²==->0, т.к. среди коэффициентов b есть ненулевой.

Найдем ортогональное преобразование, заменяющее линейную часть одним слагаемым μz. Для этого в (n-r)-мерном пространстве строк рассмотрим вектор-строку 1/μ(b,…,b)=b’. |b’|=1 => любую ортонормированную систему можно дополнить до ортонормированного базиса b’,b²,..,b. Сделаем ортогональную замену переменных Qz=z’, где

Q= Очевидно, что матрица Q - ортогональная.

уравнение (4’) примет вид =0

= Мы получим (6).

Дальнейшее упрощение уравнения можно получить умножением на ненулевоу число (вообще говоря не существое такой изометрии, равносильной такому преобразованию).

Из уравнения (5) получается

(5’) =1, если β≠0 или

(5”) =0 при β=0

Из уравнения (6) можно получить

(6’) положив >0

Теорема. Для любого уравнения квадрики существует декартова система координат, в котором уравнение квадрики записывается в одном из этих типов и разные уравнения нельзя получать одно из другого изометрией и домножением на ненулевое число.

Д-во: следует из всех выше изложенных рассуждений

Теорема. Для любой кривой второго порядка существует прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение кривой имеет один из следующих типов или видов: (нельзя с помощью изометрии перейти от одного уравнения к другому)

Название кривой	Каноническое уравнение	Условия для коэффициентов
Эллипс
Мнимый эллипс
Пара мнимых пересекающихся прямых
Гипербола
Пара пересекающихся прямых
Пара параллельных прямых
Пара мнимых параллельных прямых
Пара совпадающих прямых
Парабола

Tеорема. Для любой поверхности 2-го порядка существует прямоугольная декартова система координат, в которой уравнение поверхности имеет один из следующих типов или видов.

Сначала, рассмотрим канонические уравнения поверхностей 2 порядка, не содержащие переменной . Все они представлены в предыдущей таблице, а канонические уравнения восьми остальных поверхностей − в следующей таблице.

Название поверхности	Каноническое уравнение	Условия для коэффициентов
Эллипсоид
Мнимый эллипсоид
Мнимый конус
Однополостный гиперболоид
Двуполостный гиперболоид
Конус
Эллиптический параболоид
Гиперболический параболоид

Приведение пары квадратичных форм к каноническому виду.

Теорема. Пусть квадратичной форме f(x,x) соответствует матрица A, а g(x,x) – B, причем В – положительноопределенная, тогда существует базис , в котором

Д-во: A, B – симметричные. B – положительно определенная, тогда ее по теореме Лагранжа можно привести к нормальному виду и для матрицы B этот вид будет E.

- симметричная. Далее делаем приведение полученной матрицы A к главным осям: существует ортогональная матрица , что . Из ортогональности следует, что .

Итак, мы нашли Q=Q такую, что

Следствие. Характеристический многочлен Пучка det(A-λB); его корни есть диагональные элементы D

Д-во: ; det()=det(D-λE)=

С другой стороны det()= => корни одинаковые, т.к. многочлены получились одинаковые.

39