Линейные преобразования унитарного простарнства.
Связь линейных преобразований и билинейных функций в унитарном пространстве.
V – унитарное пространство.
Ф(V)- мн-во всех линейных преобразований.
F(V) – мн-во всех билинейных преобразований.
(1) (φx,y)=f(x,y) – отображение пары чисел x, y в число
Лемма 1. Формула (1) задает биекцию множествава Ф(V) на множество F(V).
Д-во: Докажем, что
f(x,y)
F(V).
Ясно, что (1) есть отображение VxV→F.
Докажем, его линейность по обоим
аргументам.
=
=
Аналогично (даже проще) доказывается линейность по второму аргументу.
Докажем, что (1) биективное отображение.
1) Разным преобразованиям соответствуют разные билинейные функции:
-
неверно =>единственность.
2) Разным бил. функциям соответствуют разные линейные функции
Пусть V -
n-мерное унитарное пространство.
- ортонормированный базис.
Рассмотрим матрицу
билинейной функции [f]
Пусть
.
Докажем, что
Следствие. Если
выполнено (1) и
- ортонормированный базис пространства
V, то выполняется (1’)
Лемма 2. (2)
- биекция мн-ва Ф(V) на мн-во
F(V)
Док-во: Докажем линейность по второму аргументу:
2). Аналогично доказательству Леммы 1.
3).
- ортонормированный
(2’)
Следствие. Если
выполено (2) и
ортонормированный базис, то выполняется
(2’)
Теорема.
(3)
Д-во:
- ортонормированный
Свойства операции *:
1).
2).
- тождественное
3).
4).
5).
6).
7). Если существует
обратное для
преобразование:
Д-во некоторых свойств:
3).
6).
7).
О.
наз. нормальным, если
(
)
φ – самосопряженное
(симметрическое, эрмитовое), если
.
φ – унитарное
(ортогональное), если
.
(
)
Лемма 1. Если
,
инвариантное относительно
,
то
инвариантно относительно
,
и обратно.
Д-во:
1)
:
ортогонально любому
2) Пусть
- это доказано в п. 1
Лемма 2. Если x
– общий собственный вектор для
и
:
,
тогда
Док-во:
;
Лемма 3. Если
,
тогда (f,g)=0;
Док-во:
;
(f,g)=0;
Лемма. Если V
– линейное пространство и
,
тогда у них существует общий собственный
вектор.
Док-во:
Φe=λe (e
0)
Рассмотрим систему
такую, что система из первых m
векторов линейно независима, а система
из m+1 – линейно зависима.
Такое m существует, т.к.
пространство конечномерно, e
– линейно независимо. Ясно, что
бесконечного числа линейно независимых
векторов не бывает (их не больше dimV).
Пусть
,
где f – собств. вектор
преобр.
Легко доказать по
индукции, что φψ
=ψ
φ
(i=0,..,m-1)
Т.о. f – собственный вектор и преобразования φ
Теорема о нормальном преобразовании (над С).
если
- ортонормированный базис из собств.
векторов преобр.
Док-во: 1).
- в ортнормированном базисе.
Тогда
2).
Индукция по dimV. Пусть верно для n-1, докажем истинность для n.
По Лемме
и он является общим собств. вектором:
В унитарном простр-ве любую ортонормированную систему можно дополнить до ортонормированного базиса:
;
По Лемме 1
инвариантно относительно
и относительно
,
т.к.
инвариантно относительно
и
.
=> A
B
=B
A
φ
- такое преобразование, матрица
которого A
,
φ
x=φx,
если x из V
,
т.е. φ
- сужение преобразования φ
ψ
- такое преобразование, матрица которого
В
,
ψ
- сужение преобразования
Но A
B
=B
A
=> φ
=φ
ψ
=ψ
φ
=
φ
Т.о. φ
- нормальное преобразование
подпространства V
.
По предположению
индукции для φ
сущестсвует ортномированный базис из
собственных векторов. Возьмем его и
вектор е
.
Эта система и будет базисом
Следствие
1. Если φ – нормальное
преобразование унитарного пространства
V, то V=Ker(φ-λ
ε)
..
Ker(φ-λ
ε),
где λ
,..,
λ
суть все различные собственные числа
преобразования φ.
Д-во:
Преобразование φ нормальное , значит
существует ортонормированный базис из
собственных векторов. Выберем из них
вектора соответствующие собственному
числу λ
.
Их d
.
Заметим, что для нормального преобразования
геометрические кратности равны
алгебраическим, иначе бы φ было бы не
диагонализируем, но нормальное всегда
диагонализируемо (из теоремы).
Делаем так для остальных
собственных чисел. Для каждого числа
получим свой (!) базис,
т.к. сумма сосбтвенных подпространств
– прямая. И все вектора мы разобрали
т.к. d
+..+d
=n
+..+n
=n.
Мы получим базисы ядер, причем они
ортогональны между собой, значит сумма
– ортогональная.
Следствие
2. W инвариантно
относительно φ, то оно инвариантно
относительно
,
если φ – нормальное преобразование.
Д-во: φ – нормальное, тогда существует ортонормированный базис из собственных векторов. Получим:
А из матрицы сопряженного преобразования
видно, что W инвариантно
относительно
,
т.к. поле комплексное.
Следствие 3. Если φψ – нормальное преобразование и φψ=ψφ, то для φ и ψ существует общий ортонормированный базис из собственных векторов.
Унитарное преобразование.
-
Обратное к унитарному преобразованию есть унитарное преобразование.
-
Произведение двух унитарных преобразований унитарно.
Теорема об унитарных преобразованиях. Семь утверждений эквивалентны:
-
(φx,φx)=(x,x)
-
(φx,φy)=(x,y)
-
φ=ε=φ
-
Для любого ортонормированого базиса
[
][φ]=E=[φ][
] -
Для любого ортнормированного базиса
-
ортонормированны -
Существует ортонормированный базис
,
что
-
ортонормированны -
φ=φ
и |λ
|=1
Д-во:
1→2 y=x
2→3
(x,y)=(φx,φy)=(x,
φy)
=>
φ=ε
(х≠0)
3→4
φ=φ
=> [
][φ]=[φ][
],
φ=ε
=>[
][φ]=E
3→5
- ортонормированная система =>
(φe
,φe
)=(e
,e
)
=>
-ортонормированны.
5→6 очевидно
6→7 (a
,a
)=(φa
,φa
)=λ
(a
,a
)
=> |λ
|=1
a
- собственный вектор для λ
(e
,e
)=(φe
,φe
)=(e
,
φe
)
=>
φ=ε
7→1 Преобразование φ
нормально, тогда по теореме существует
базис из собственных векторов. В нем
[φ]=diag(λ
,..,
λ
),
[
]=diag(
)
. А так как |λ
|=1,
то [φ] [
]=E.
Следствие
4. AA
=A
A
тогда и только тогда, когда существует
унитарная матрица U (UU
=E)
такая, что U
AU=D
из сосбтвенных чисел матрицы А.
Д-во:
-
=>
Пусть φ – такое
преобразование, матрица которого А. Так
как AA
=A
A,
то φ – нормальное преобразование. По
теореме о нормальном преобразовании
существует ортонормированный базис из
собственных векторов. В этом базисе
матрица A’ будет диагональной, а по
диагонали собственные числа. Осталось
доказать, что матрица перехода U
будет унитарной.
Самосопряженные преобразования.
Теорема. φ=φ
тогда
и только тогда, когда φφ
=φ
φ
и собственные числа вещественные.
Д-во:
-
=> Пусть сосбтвенному числу λ соответствует вектор х, тогда
λ(x,x)=(φx,x)=(x,φx)=
(x,x)
=> λ=
=> λ – вещественное.
-
<= Так как φ нормальное, то существует ортонормированный базис из собственных векторов. [φ]=diag(λ
,..,
λ
)=[φ
]
=> φ=φ