Поиск корней функции методом деления отрезка пополам.
Если для требуемой математической функции можно выделить участок, на котором она имеет всего один корень, то этот корень можно найти следующим образом:
-
Задаем значение xleft равное значению левой границы участка.
-
Задаем значение xright равное значению правой границы участка.
-
Вычисляем значение yleft=f(xleft) и yright=f(xright).
-
Делим участок пополам и вычисляем x0=(xright+xleft)/2 и y0=f(x0).
-
Если знак y0 и yleft одинаковый, то выполняем xleft=x0, иначе xrigth=x0.
-
Повторяем пункты 4 и 5 до тех пор, пока разница xright-xleft станет достаточно малой.
Соответствующую функцию на языке С можно записать следующим образом:
// описание функции y=f(x)
double f(double x)
{
// здесь вычисляется функция y=f(x);
}
// функция sign проверяет равенство знаков
int sign(double a,double b)
{
if(a>0 && b>0)
return 1;
if (a<=0 && b<=0)
return 1;
return 0;
}
// вычисление корня делением отрезка пополам.
double root(double xleft,double xright)
{
double x0,y0,yleft,yright;
yleft=f(xleft);
yright=f(xright);
if( xleft > xright )// Левая граница > правой
{
x0=xleft;
xleft=xright;
xright=xleft;
}
if ( sign(yleft,yright) )// Одинаковый знак.
{
printf(“Eroor! Equal signs!”);
return 0;
}
while (xright-xleft>eps)
{
x0=(xright+xleft)/2;
y0=f(x0);
if (sign(yleft,y0))
{
yleft=y0;
xleft=x0;
}
else
{
yright=y0;
xright=x0;
}
}
return x0;
}
Поиск корней функции методом касательных.
Этот алгоритм начинает работать с некоторой точки x0, находящейся в окрестности корня. Функция y=f(x) должна быть монотонной. В точке ( x0,y0=f(x0) ) проводится касательная до пересечения с осью x. Полученная точка берется в качестве следующего значения для x0. Процесс повторяется до тех пор, пока разница значений x0 между двумя итерациями не станет достаточно малой.
Практическое задание №3.
При выполнении третьего задания студенты должны закрепить приемы работы с операторами цикла. Основное внимание уделяется стилю написания программы и разделению программы на отдельные функции, каждая из которых выполняет законченное действие.
Вариант 1.
Суммируя числовой ряд, вычислите функцию, зависящую от параметра:
,
где
Суммирование завершайте по достижению
условия
.
Для вычисления
воспользуйтесь рекуррентными
соотношениями. Процедуру вычислений
оформите в виде отдельной функции.
Разработайте интерфейс, позволяющий
пользователю вводить параметры
и
и вычислять таблицу значений
при x=0..10 с шагом 0.5. Исследуйте
поведение
при
и
.
Сумму сравните с точным значением
.
Вариант 2.
Суммируя числовой ряд, вычислите функцию, зависящую от параметра:
,
где
Суммирование завершайте по достижению
условия
.
Для вычисления
воспользуйтесь рекуррентными
соотношениями. Процедуру вычислений
оформите в виде отдельной функции.
Разработайте интерфейс, позволяющий
пользователю вводить параметры
и
и вычислять таблицу значений
при x=0..10 с шагом 0.5. Исследуйте
поведение
при
и
.
Сумму сравните с точным значением
.
Вариант 3.
Суммируя числовой ряд, вычислите функцию, зависящую от параметра:
,
где
Суммирование
завершайте по достижению условия
.
Для вычисления
воспользуйтесь рекуррентными
соотношениями. Процедуру вычислений
оформите в виде отдельной функции.
Разработайте интерфейс, позволяющий
пользователю вводить параметры
и
и вычислять таблицу значений
при x=0..10 с шагом 0.5. Исследуйте
поведение
при
и
.
Сумму сравните с точным значением
.
Вариант 4.
Суммируя числовой ряд, вычислите функцию:
,
где
Суммирование завершайте по достижению
условия
.
Для вычисления
воспользуйтесь рекуррентными
соотношениями. Процедуру вычислений
оформите в виде отдельной функции.
Вычислите таблицу значений
при
с шагом 0.1, а также в некоторой точке
— области сходимости суммы
.
Разработайте интерфейс, позволяющий
пользователю вводить параметры
и
.
Полученные значения сравните с точным
значением
.
Повторите вычисления с
.
Вариант 5.
Суммируя числовой ряд, вычислите функцию:
,
где
Суммирование завершайте по достижению
условия
.
Для вычисления
воспользуйтесь рекуррентными
соотношениями. Процедуру вычислений
оформите в виде отдельной функции.
Вычислите таблицу значений
при
с шагом 0.1, а также в некоторой точке
— области сходимости суммы
.
Разработайте интерфейс, позволяющий
пользователю вводить параметры
и
.
Исследуйте поведение
при
и
.
Полученные значения сравните с точным
значением
.
Повторите вычисления с
.
Вариант 6.
Продифференцируйте численно функцию
,
используя для дифференцирования
разностную формулу второго порядка
Процедуру дифференцирования вынесите
в отдельную функцию. Разработайте
интерфейс, позволяющий вводить шаг
дифференцирования h и вычислять
таблицу
для
с шагом
при
.
Сравните полученные результаты с точным
значением производной
.
Вариант 7.
Разработайте процедуру поиска методом
половинного деления корня уравнения
на интервале
.
Процедуру оформите в виде отдельной
функции. Разработайте интерфейс,
позволяющий вводить значение границ
интервала a, b и требуемую точность
решения
.
С помощью программы определите корни
уравнения
на интервалах
и
.
Контрольный
пример:
x = -1, 2 (кратность 2), 5, -3.
Вариант 8.
Разработайте процедуру поиска корня
уравнения
методом Ньютона:
Процедуру оформите в виде отдельной
функции. Полагайте, что производная
задана аналитически. Разработайте
интерфейс, позволяющий вводить начальное
приближение
и требуемую точность вычислений
.
С помощью программы определите корни
уравнения
при
и начальных условиях
.
Поясните результат при помощи графика
функции
.
Контрольные примеры:
; 
; 
; 