- •Оглавление
- •Введение
- •1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Занятие № 5. Линейные пространства.
- •Занятие № 6. Евклидовы пространства.
- •Занятие № 7. Линейные операторы и матрицы.
- •Занятие № 10. Скалярное произведение векторов.
- •Занятие № 11. Векторное и смешанное произведение векторов.
- •Занятие № 12. Прямая на плоскости.
- •Занятие № 13. Кривые второго порядка.
- •Занятие № 14. Преобразование координат на плоскости. Приведение уравнений к каноническому виду.
- •Занятие № 15. Плоскость в пространстве.
- •Занятие № 16. Прямая в пространстве.
- •Занятие № 17. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
- •Занятие № 18. Поверхности в пространстве.
- •2. Введение в математический анализ.
- •21.3. Доказать, что последовательность
- •4. Интегральное исчисление функций одной переменной.
- •5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •Занятие № 46. Пределы и непрерывность функции нескольких переменных.
- •Занятие № 47. Частные производные и дифференциалы.
- •Занятие № 48. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Занятие № 49. Производная по направлению. Градиент.
- •6. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Занятие № 53. Двойные интегралы.
- •7. Ряды.
- •8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •19.1. A); б); в); г). 19.2. А); б); в); г). 19.3. А) четная; б) общего вида; в) нечетная.
- •27.4. Касательная , нормаль . 27.5.
- •Рекомендуемая литература
Занятие № 16. Прямая в пространстве.
16.1. Написать канонические уравнения прямой:
1) проходящей через две точки A(1,-1,3), B(2,1,-1),
2) проходящей через точку A(3,1,2) и параллельной вектору .
16.2. Найти косинус угла между прямыми:
и .
16.3. Найти расстояние точки M(2,-1,3) до прямой .
16.4. Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку Р(2, -5, 3)
и параллельной прямой .
16.5 Написать уравнения прямой в канонической и параметрической формах.
16.6. Даны вершины треугольника A(3,-1,-1), B(1,2,-7) и С(-5,14,-3). Составить канонические уравнения биссектрисы его внутреннего угла при вершине B.
16.7. Составить уравнения прямой, которая проходит через точку А(-1,-3,2) и пересекает две прямые ; .
16.8. Исследовать взаимное расположение прямых и . Если прямые пересекаются, то определить координаты их точки пересечения:
а) , ;
б) , ;
в) , ;
г) , .
16.9. Доказать, что прямые и пересекаются, и составить уравнение плоскости, которая их содержит:
а) , ;
б) , .
16.10. Доказать, что прямые и скрещиваются. Составить уравнения плоскостей, каждая из которых содержит одну из этих прямых и параллельна второй:
а) , ;
б) , .
16.11. Определить уравнение прямой, проходящей через точку М, пересекающей прямую и перпендикулярной к ней:)
а)
б)
16.12. Даны координаты вершин треугольника АВС. Составить уравнения его высот:
а)
б) ,
Занятие № 17. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
17.1. Найти точку пересечения прямой и плоскости
17.2. Найти проекцию точки М(1,0,-1) на прямую
17.3. Найти проекцию точки М(-1,-2,3) на прямую .
17.4. Найти проекцию точки М(1,1,1) на прямую, проходящую через точки
А(2,5,-3) и В(3,-2,2).
17.5. Найти проекцию точки М(5,2,-1) на плоскость .
17.6. Найти точку А, симметричную точке В(2,-5,7) относительно прямой, проходящей через точки (5, 4, 6) и (-2, -17, -8).
17.7. Найти точку А, симметричную точке B(1,2,3) относительно прямой:
17.8. Составить уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 1, 1) параллельно прямым и .
17.9. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую параллельно прямой .
17.10. Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку Р(0, 0, 0).
17.11. Доказать, что прямые и лежат в одной плоскости и составить ее уравнение.
17.12. Найти уравнения прямой, проходящей через точку М(3,-2,4) параллельно плоскости и пересекающей прямую .
17.13. Написать канонические уравнения прямой, образованной пересечением плоскости с плоскостью Oyz.
17.14. Найти расстояние между прямыми и . Составить уравнение плоскости, проходящей через эти прямые.
Занятие № 18. Поверхности в пространстве.
18.1. Определить тип поверхности второго порядка при различных значениях параметра k:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ; д) .
18.2. Составить уравнение сферы с центром в точке А(1,1,1) и радиусом .
18.3. Найти координаты центра А и радиус сферы R:
а) ;
б) .
18.4. Найти координаты центра поверхности и вершин, ее полуоси и уравнения плоскостей симметрии, оси симметрии, изобразить поверхность в исходной системе координат:
а) ;
б) .
18.5. Определить тип поверхности:
а);
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) .
18.6. Определить тип поверхности:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д).