![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Введение
- •Основные уравнения
- •Принцип перестановочной двойственности
- •Энергетические характеристики.
- •Векторные и скалярные потенциалы. Волновые уравнения.
- •Дельта –функция
- •Функция Грина
- •Некоторые сведения из функционального анализа. Функционалы и операторы в гильбертовом пространстве
- •Проекционные методы Ортогональные ряды и проекционная интерпретация.
- •Вариационные принципы. Процесс Ритца.
- •Применение метода Ритца к анализу свойств резонаторов
- •Наиболее употребительные проекционные схемы в электродинамике.
- •Метод частичных областей. (процесс Трефтца)
- •Интегральные уравнения электродинамики.
- •Вывод интегральных уравнений
- •Интегральное уравнение Фредгольма.
- •Решение интегрального уравнения
- •Решение интегрального уравнения для диафрагмы в плоском волноводе.
- •Проблема устойчивости решения.
- •Мчо с учётом особенности на ребре.
- •Метод Моментов
- •Итерационные методы
- •Дискретизационные методы Метод коллокации.
- •Сшивание в дискретных точках.
- •Разностные схемы. Сеточные методы
- •Литература
Вариационные принципы. Процесс Ритца.
Попытаемся проследить развитие проекционного подхода с иных позиций. Рассмотрим вновь ту же задачу:
(41)
Одновременно введем в рассмотрение так называемую сопряженную ей задачу
(42)
– сопряженный
оператор такой, что для всех рассматриваемых
функций, например w
и
v
Правая часть g не имеет связи с f.
Построим следующего вида функционал:
.
(Функционал – математический объект, который ставит в соответствие функциям числа).
Возьмем его вариацию
,
которая определяется аналогично
дифференциалу функции нескольких
переменных. Но вместо изменения
независимых переменных, происходит
«изменение функций» w
и v
на некотором
множестве. Таким множеством допустимых
функций может быть, в частности, множество
всех достаточно гладких функций,
удовлетворяющих всем требуемым краевым
условиям . Формально вводим приращение
функций
,
а с функционалом поступают (внешне)
согласно обычным правилам дифференциального
исчисления
.
Стационарным
значением функционала
называют такое, для которого
.
В частности стационарное значение может
быть максимальным или минимальным
значением. Выясним, какие w
и v
доставляют
функционалу
стационарное значение. Приравняв
и учитывая
Получаем
.
И поскольку вариации
и
независимы, видим, что наш функционал
стационарен на решении задач (41) и (42)
.
Таким образом для решение задачи (41) необходимо отыскать минимум функционала Ф.
Для отыскания
минимума функционала Ф
применяется приближенный метод
Ритца.
Метод состоит в следующем. Пусть в
области V
построена полная система функций
(скалярная или векторная), удовлетворяющая
граничным условиям. Функции эти не
являются собственными функциями
оператора А
(иначе задача
решается аналитически до конца и в
применении метода Ритца нет необходимости).
Указанная система образует базис, на
который можно разложить искомое решение.
Поэтому функции
часто называют координатными.
Ограничиваясь конечным числом функций, ищем приближенное решение в виде:
Вводя эти разложения
в функционал Ф,
получим следующую функцию
переменных
.
Теперь вместо
вариации функционала нужно взять
дифференциал функции
,
который следует обратить в нуль. Для
этого нужно потребовать обращения в
нуль всех частных производных
.
Если ограничиться половиной этих
условий, а именно потребовать лишь
.
Т.е.
Отсюда получаем систему линейных алгебраических уравнений
,
(44)
которая, как видим, полностью совпадает с (38).
Использование условий
привело бы к аналогичной системе уравнений для сопряженной задачи (42).
Как видим, при весьма отличных исходных положениях процессов Бубнова – Галеркина и Ритца следует считать их эквивалентными т.к. они приводят (при прочих равных условиях) к одной и той же проекционной системе алгебраических уравнений (38) и (44). При этом схема действий в случае вариационного подхода сложнее.
Необходимо
подчеркнуть то, что (44) дает формальное
решение задачи (41). Вопросы разрешимости
системы алгебраических уравнений,
сходимость разложений типа (43) к точному
требует доказательства. Далеко не всегда
доказательства удается провести. Тогда
проводят повторные вычисления с разным
числом функций в (43). Устойчивость
значений коэффициентов
,
полученных при разных
,
принимается как критерий правильности
полученных решений.