Принцип перестановочной двойственности

Для уравнений Максвелла справедлив принцип перестановочной двойственности. В соответствии с ним первое и второе, третье и четвертое уравнения ( 7 ) переходят соответственно друг в друга, если применяются перестановки

;

;

; (8)

;

.

Этот принцип позволяет получить решение электродинамической задачи возбуждения электромагнитного поля сторонними магнитными зарядами и токами, если известно решение задачи о возбуждении поля сторонними электрическими зарядами и токами. Справедлив и обратный переход.

Энергетические характеристики.

При вычислении нелинейных величин нельзя, вообще говоря, пользоваться комплексными амплитудами, надо переходить к физическим полям. Однако наиболее интересные нелинейные характеристики поля — средние по периоду — можно вычислять непосредственно по комплексным амплитудам.

Средний за период поток мощности через единицу площади (поток энергии), т.е. средний поток вектора Пойнтинга, равен

.

Плотность энергии электромагнитного поля

.

Средняя плотность электромагнитной энергии

,

где

Векторные и скалярные потенциалы. Волновые уравнения.

Введём векторный и скалярный потенциалы. В уравнениях Максвелла, как мы их ввели, поле может быть представлено в виде суперпозиции поля, создаваемого электрическими токами , (, ) и поля ,, создаваемого магнитными токами(,). Таким образом, электрическое и магнитное поля будут иметь вид:

;

(9)

Для первого из них вводится векторный потенциал и скалярный по формулам:

;

(10)

.

Для второго

;

(11)

.

Уравнения для мгновенных значений векторных и скалярных потенциалов имеют вид:

(12)

;

Здесь — оператор Лапласа.

Эти уравнения носят название – волновые уравнения.

Вместо векторного и скалярного потенциалов часто используют вектор Герца , связь между ними определяется выражениями:

;

(13)

;

(14)

Векторы Герца позволяет выразить поле через одну векторную функцию. Они удовлетворяют волновому уравнению

. (15)

Векторы и называемые электрическим или магнитным моментом, связаны с соответствующими токами соотношением

;

;

Волновые уравнения могут быть точно также сформулированы относительно векторов и . Эти уравнения представляют собой уравнения второго порядка в частных производных гиперболического типа.

Остановимся теперь на уравнениях для потенциалов в случае монохроматических полей. При монохроматических колебаниях отпадает надобность в скалярном потенциале, поскольку его можно выразить через векторный ( смотри (13) и (14) ).

. (16)

Теряется различие между векторами Герца и векторными потенциалами, так как

. (17)

Уравнение для комплексной амплитуды векторного потенциала имеет вид:

, (18)

где .

Для векторов Герца:

. (19)

Эти уравнения носят название уравнений Гельмгольца. Они принадлежат к классу уравнений эллиптического типа.

Комплексные амплитуды электрического и магнитного полей выражаются через векторные потенциалы

(20)

или через векторы Герца

(21)