§ 16. Уравнение плоскости в пространстве.

1⁰. Различные виды уравнения на плоскости.

Принципы построения уравнения плоскости в пространстве во многом совпадают с построением прямой на плоскости. Это связано с тем, что размерность прямой отличается от ??? плоскости на единицу. Размерность плоскости отличается на единицу от ??? пространства. Поэтому плоскость определяется двумя линейно-независимыми векторами и точкой, через которую эта плоскость проходит.

Утверждение 1. Пусть в плоскости задана т.и два неколлинеарных вектора и . Тогда т.. (1)

Доказательство.

| Пусть т. М лежит в плоскости, тогда это означает, что компланарны  в силу неколлинеарности и , вектор может быть представлен как линейная комбинация и , т.е. справедливо (1).

| если справедливо (1), то компланарен с и  , ч.т.д.∎

Уравнение (1) будет называться уравнением плоскости в векторной форме. Оно означает лишь, что плоскость проходит через т. и параллельно и . Зафиксируем в пространстве аффинновую систему координат. Пусть и - радиус-вектора т.и М.

Тогда (1) перепишем: - векторное уравнение плоскости. (2)

Если теперь зафиксировать координаты векторов ,,,, например , то уравнение (2) : (3)

Уравнение (3) называется параметрическим уравнением плоскости. Если его переписать в виде:

,

Представляет собой линейную зависимость столбцов матрицы: = 0 (4)

Разлагая этот определитель по первому столбцу получим:

(5)

где (6)

Уравнение (4) является уравнением плоскости, проходящей через т. и параллельно .

Если в плоскости заданы 3 точки ,, то в качестве векторов и : .

Уравнение плоскости, проходящей через 3 точки: (7)

Если в уравнение (5) раскрыть скобки и обозначить , то - общее уравнение плоскости (8)

Отметим, что в силу неколлинеарности хотя бы один из определителей (6) отличен от нуля  уравнением первой степени.

Таким образом, показали, что любое уравнение плоскости может быть записано в виде уравнение первой степени.

Докажем и обратное: любое уравнение первой степени вида (8) представляет собой уравнение некоторой плоскости.

Пусть в (8) , тогда (8) имеет частное решение: , которое определяет координаты точки, через которую проходит плоскость. А вектора имеют значения .

Покажем, что плоскости, проходящие через полученную точку параллельно и определяются уравнением (8). Действительно, уравнение плоскости имеет вид:

, где эквивалентно (8)

доказана теорема 1: Пусть в пространстве- в точности поверность первого порядка.

2⁰. Взаимное расположение плоскостей в пространстве. Полупространства.

Утверждение 1. Вектор параллелен плоскости , заданной уравнением (8) (9)

Доказательство. Для доказательства утверждения необходимо и достаточно показать, что, если отложить от некоторой точки плоскости, то конец также будет лежать на плоскости.

Пусть , , , проверим, что . Подставляя в уравнение (8): ,ч.т.д.∎

Утверждение 2. Плоскости (10)

(11)

параллельны (12)

Доказательство.

| Плоскости параллельны, если вектор параллельный одной плоскости, будет параллелен другой. Поэтому, если выполняется условие (12), то в силу утверждения 1 плоскости параллельны.

| пусть , тогда вектора , которые параллельны плоскости , должны быть параллельны  в силу утверждения 1 выполняется:

, ч.т.д.∎

Утверждение 3. Плоскости и , заданные уравнениями (10,11), совпадают (13)

Доказательство.

| очевидно

| пусть плоскости совпадают, тогда первые два равенства следуют из утверждения 2 и доказываем третье равенство.

Пусть т обеим плоскостям, тогда

В силу соотношения (12) получим: .

Умножим первое уравнение последней системы на и прибавим ко второму: мы доказали уравнение (13), ч.т.д.∎

Утверждение 4. Плоскости и , заданные уравнениями (10,11), параллельны и не совпадают  (14)

Утверждение 5. Плоскости и , заданные уравнениями (10,11), пересекаются  - неколлинеарны.

Утверждение 6. Пусть плоскости и , заданные уравнениями (10,11), пересекаются на прямой l, тогда плоскость проходит через эту прямую  её уравнение имеет вид:

, (15)

где одновременно.

Доказательство. Аналогично для пучка прямых, так как (15) – это уравнение пучка плоскостей, проходящих через l.

3⁰. Плоскость в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат . Пусть плоскость проходит через т. и - некоторый вектор , тогда .

Условие перпендикулярности двух векторов в ортогональном базисе:

В ортогональном базисе коэффициенты А, В, С общего уравнения (8) можно ??? как коэффициенты векторной нормали.

Вектор нормали используется для решения задач нахождения угла между плоскостями, угла между прямой и плоскостью и т.д.

По аналогии с прямой на плоскости строится нормальное уравнение плоскости.

Пусть в пространстве с прямоугольной декартовой системой координат задана плоскость . Проведем из начала координат ось .

Пусть т. N – это точка пересечения прямой l с плоскостью ,

Тогда произвольная т. М пространства 

Другими словами, , (16)

г

Рис.5.

де - единичный вектор, являющийся масштабным вектором оси l .

Рис.5.

, где - углы с осями .

Получаем нормальное уравнение плоскости: .