![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •§15.Уравнение прямой линии на плоскости.
- •10. Векторное, параметрическое, общее и каноническое уравнение прямой.
- •20. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.
- •30. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.
- •§ 16. Уравнение плоскости в пространстве.
- •§ 17. Уравнение прямой в пространстве.
20. Взаимное расположение прямых на плоскости. Полуплоскости.
Пусть на плоскости
задана аффинновая система координат
.
Утверждение 1.
Для того,
чтобы прямые
и
,
заданные уравнениями
(7)
(8)
соответственно
совпадали необходимо и достаточно,
чтобы
(9)
|
l1
и l2
совпадают, это означает, что их направляющие
вектора
и
коллинеарные, т.е.
(10)
Возьмем т.
этим прямым, тогда
,
Умножая первое
уравнение на
и прибавляя по ???
в силу (10):
(11)
Формулы (10), (11) эквивалентны (9)
| пусть выполняется (9), тогда уравнения (7) и (8) эквивалентны соответствующие прямые совпадают, ч.т.д.∎
Утверждение 2.
Прямые
и
,
заданные уравнениями
,
параллельны и не совпадают
(12)
Доказательство.
|
прямые параллельны и не совпадают
несовместна, а это возможно, по теореме
Кронекера-Конелли
,
возможно лишь при
условии
это возможно при выполнении (12)
| Если выполняется первое равенство прямые параллельны, а не выполнение второго система (7), (8) несовместна прямые параллельны и не совпадают, ч.т.д.∎
Следствие (из
1,2). Прямые
и
пересекаются
(13)
Утверждение 3.
Пусть прямые
и
,
задаваемые уравнениями (7,8), пересекаются
в единственной точке с координатами
,
тогда прямая
l3
проходит через т.
она задается уравнением:
(14)
Т.е. уравнение (14) – линейная комбинация (7,8)
Доказательство.
|
Очевидно, а именно, если уравнение l3
задается
(14), то она проходит через т.
| пусть l3
проходит через т.
и имеет уравнение
.
Возьмем на прямой
l3
т.
,
отличную от т.
.
Выберем
Покажем, что
уравнение для l3
пропорционально (14) с выбранными
.
Т.к. т.
не
может одновременно принадлежать прямым
и
и
хотя бы одно из
и
отлично от нуля. Поэтому уравнение
является уравнением первой степени
определяет некоторую прямую.
По построению эта
прямая проходит через т.
,
т.к. через две точки плоскости, то она
совпадает с прямой
.
Поэтому в силу утверждения 1, уравнения
этих прямых пропорциональны, ч.т.д.∎
Уравнение (14)
называется уравнением
пучка прямых,
проходящих через т..
30. Прямая линия на плоскости с прямоугольной системой координат. Нормальное уравнение прямой.
Пусть на плоскости
задана прямоугольная декартова система
координат
,
тогда угол между прямыми, определяющийся
углом между направляющими векторами
может быть определен формулой:
.
Отметим, что угол
между прямыми принимает значение от
,
угол между направляющими
.
Поэтому угол между
прямыми определяется углом между
векторами. Получаем, что прямые (7), (8) в
прямоугольной системе координат
ортогональны
(15)
Отметим, что только
прямоугольной декартовой системе
координат вектор
является перпендикулярной к прямой
В дальнейшем построим нормальное уравнение на плоскости. В начале введем уравнение прямой в полярной системе координат. Пусть полярная ось совпадает с Ox и l1 – ось, проходящая через начало координат перпендикулярно прямой l.
y
N
l1
P
M
0 x
Рис.3.
Пусть прямая
и пусть длина
,
-
угол между l1
и
.
Если т.М
лежит на l1,
то очевидно, что проекция
Последнее условие
является необходимым и достаточным,
для того, чтобы т.
М.
или
,
(16)
где
-
расстояние от т.
М до начала
координат,
-
угол между
и
.
Другими словами,
- полярные координаты т.
М. Таким
образом, уравнение (16) является уравнением
прямой в полярной системе координат.
Уравнение (16) можно переписать:
,
где
-
координаты т.
М в
соответствующей прямоугольной декартовой
системе координат.
Получаем:
(17) – нормальное уравнение прямой на
плоскости, где
-
длина перпендикуляра, проведенного из
начала координат на прямую,
-
угол наклона нормали к оси абсцисс.
Отметим, что
и
- координаты ортонормали. Покажем, что
общее уравнение прямой привели к
нормальному виду.
Пусть прямая l
:
,
тогда нормальное уравнение получается
умножением на некоторый нормирующий
множитель
:
при этом
,
знак
выбирается из условия
Если С=0,
то знак
произвольный.
Нормальное уравнение прямой удобно для нахождения расстояния между от произвольной точки плоскости до прямой.
y
l1
M0 N
M P
x 0
Рис.4.
Произвольная точка
.
,
.
Очевидно, что расстояние от
до l:
Рис.4.
Таким образом, получили, что расстояние от точки до прямой вычисляется следующим образом: в левую часть нормального уравнения этой прямой необходимо подставить координаты т. и полученную величину взять по модулю.
Замечание.
Из рисунка видно, что если т.
и начало координат лежат по разные
стороны от l,
то
.
В первом случае:
,
во втором -
.
Последнее может
быть использовано, чтобы узнать лежит
ли т.
и начало координат по одну сторону или
по разные от прямой l.
Пример.
.