3. Вычислить определители:

4. Предложить схему вычисления определителей 3-го порядка,

отличающуюся от “правила “треугольников”.

Ответы

1а. Умн. на (-1)ⁿ. 3а. -8. 3д. a² + b² + c² 

1б. Не изменится. 3б. –9.  2(bc++ca+ab).

1в. Не изменится. 3в. . 3е. (n-1)!.

2. 8a+15b+12c-19d. 3г. 1. 3ж. n!.

Задание 6-1.

1. Вычислить определители приведением к треугольному виду:

2. Вычислить определители методом рекуррентных соотношений.

3. Вычислить определители методом представления их в виде суммы

определителей или другим методом.

Ответы

1. n!.

2.  

3. Указание: получить соотношение:

3. 

4. Указание: Элементы вне главной диагонали представить:

5. (n  1)!.

6.  

8. (x  x₁)(x  x₂)...(x  x_n).

Задание № 73.

1.Найти вектор х из уравнения

а₁ + 2а₂ + 3а₃ + 4х = 0, где а₁ = (5, 8, 1, 2), а₂ = (2, 1, 4, 3),

а₃ = (3, 2, 5, 4).

2.Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми: а) а₁ =(4,2,6), а₂ =(6,3,9);

б) а₁ = (2,3,1), а₂ =(3,1,5), а₃ =(1,4,3).

3.Система векторов а₁, а₂,...,а_k   линейно независима, выяснить,

являются ли линейно зависимыми системы векторов:

а) b₁ = 3а₁ + 2а₂ + а₃ + а₄,  б) b₁ = а₁, 

b₂ = 2а₁ + 5а₂ + 3а₃ + 2а₄, b₂ = а₁ + а₂, 

b₃ = 3а₁ + 4а₂ + 2а₃ + 3а₄.  b₃ = a₁ + a₂ + a₃, 

.......

b_k = a₁ + a₂ +...+ а_k.

4.Найти все значения  , при которых вектор b линейно выражается через векторы а₁, а₂:

а₁ = (3, 4, 2), а₂ = (6, 8, 7), b = (9, 12, ) .

5.Найти какой ни будь базис системы векторов и выразить через него остальные векторы системы:

а) а₁ = (2, 2, 7, 1), а₂ = (3, 1, 2, 4), а₃ = (3, 5, 13, 11);

б) а₁ = (2, 1), а₂ = (3, 2), а₃ = (1, 1), а₄ = (2, 3).

   Ответы

1. (0, 1, 2, 2). 4.    любое.

2а. Нет. (л. зав.) 5а. (а₁, а₂, а₃).

2б. Да. (л. нез.) 5б. (a₁, a₂), a₃ = a₁ + a₂,

3а. Нет. (л. нез.) a₄ = 5a₁ + 4a₂.

3б. Нет. (л. нез.)

Задание № 8-1.

1.Найти ранг матриц с помощью элементарных преобразований:

2.Вычислить ранг матриц:

а) б)  в) 

3.Найти ранг матрицы при различных значениях параметра :

 

4.Покажите, что вычеркивание одной строки (одного столбца) не

меняет ранга матрицы тогда и только тогда, когда вычеркнутая

строка (столбец) линейно выражается через остальные строки

(столбцы).

 Ответы

1а. 2. 1б. 3. 1в. 2.

2а. 2. 3. 1 при   = 1, 3 при    1.

2б. 4.

2в. 3. 4. Док-во.