Задание № 152.

1.Ассоциативна ли операция  на множестве М, если

а) М = N, х  y = НОД(х, y),

б) М = N, х  y = 2xy,

в) М = Z, x  y = x  y.

2.Определены ли на множествах N, Z, Q, 2Z, 2Z+1, R, R⁺ следующие операции. Какие из операций обладают свойствами коммутативности, ассоциативности ?

а) а  b = a  b; в) а  b = a/b;

б) a  b = ab; г) а  b =(а+b)/2;

3.Какие из указанных множеств с операциями являются группами ?

а) (А, ), где А  одно из множеств N, Z, Q, R, C;

б) (nZ, +), где n  N;

в) ( 1, 1 , ) ;

г) множество симметрических (кососимметрических) матриц относительно умножения;

д) множество невырожденных матриц относительно сложения;

ж) множество действительных многочленов степени  n (включая нуль) относительно сложения;

з) множество действительных многочленов степени n от неизвестного х относительно сложения ;

и) нечётные перестановки чисел (1, 2,..., n) относительно умножения;

к) матрицы порядка n с целыми элементами и определителем, равным 1 относительно умножения.

Ответы .

1а. Да. 1б. Да. 1в. Нет. 2а. Нет. 2б. Ком., асс. 2в. Нет. 2г. Ком., 3а. Q, R, C. 3б. Да. 3в. Да. . 3г. Нет. 3д. Нет. 3е. Да. 3ж. Да. 3з. Нет. 3и. Нет. 3к. Да.

Задание № 16-1.

1.Найти порядок элемента в группе:

а) ; б)

2.Доказать, что множество всех корней n-ой степени из 1 образует подгруппу в мультипликативной группе всех комплексных чисел, отличных от 0. Составить таблицы умножения для группы корней n-ой степени из 1 для n = 3, 4, 6.

3.Какие из следующих числовых множеств образует кольцо относительно обычных операций сложения и умножения: а) множество Z;

б) множество всевозможных сумм вида a₁z₁+ a₂z₂+...+ a_nz_n, где а_i  R,

z_i комплексные корни из 1?

4.Какие из следующих множеств матриц образуют кольца:

а) ; б) ; в) .