![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Практическое занятие №25
- •2. Пояснения к работе
- •2.1 Краткие теоретические сведения:
- •2.1.1 Формула прямоугольников
- •Формула трапеций
- •Эта формула называется общей формулой трапеций. Общую формулу трапеций можно переписать в более удобном виде:
- •2.1.3 Формула Симпсона
- •2.1.4 Приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод Эйлера
- •3. Задание Вариант 1
- •Вариант 2
- •Вариант 3
-
Формула трапеций
Приближенное значение определенного интеграла можно вычислить и иным способом.
Заменим
на
отрезке
дугу
АВ
графика
подынтегральной функции у
= f(x)
стягивающей
ее хордой
(рис.2) и вычислим площадь трапеции
АВbа.
Примем
значение определенного
интеграла численно равным площади этой трапеции.
(4)
Это
и есть формула трапеций для приближенного
вычисления интеграла. Погрешность
вычисления
для формулы трапеций оценивается так:
,
(5)
где
точка
.
В случае, если
,
вычисление по формуле (4) даёт значение
интеграла с избытком; если
,
то интеграл вычисляется с недостатком.
Точность вычислений возрастает, если
отрезок
разделить на несколько частей и применить
формулу трапеций к каждому отрезку
(рис. 3). Тогда
Рис.2 Рис. 3
Для
простоты вычислений удобно делить
отрезок
на равные части, в этом случае длина
каждого
из отрезков разбиения есть
.
Тогда,
численное значение интеграла на
всем отрезке
равно
Эта формула называется общей формулой трапеций. Общую формулу трапеций можно переписать в более удобном виде:
154
,
где
шаг
(6)
Пример
2. Вычислить
интеграл
с помощью формулы трапеций при
.
Решение:
составим таблицу значений подынтегральной
функции при
и
:
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 2 3 |
0 0,2 0,4 0,6 |
0 0,02 0,16 0,36 |
0,0000 0,0400 0,1593 0,3523 |
4 5 6 7 8 |
0, 1,0 1,2 1,4 1,6 |
0,64 1,0 1,44 1,96 2,56 |
0,5972 0,8415 0,9915 0,9249 0,5487 |
Используя
формулу
,
Находим:
Примечание. Если
данный интеграл вычислить при
,
то получим
.
Следовательно, точность вычислений
увеличивается с возрастанием
.
2.1.3 Формула Симпсона
Точность
приближенного интегрирования заметно
возрастает, если подынтегральную функцию
на отрезке
заменить
квадратичной функцией (рис.5), принимающей
в узлах
х0
= а, х1,
х2
= b
значения
и
.
В
качестве интерполяционного многочлена
используется многочлен Ньютона 2
степени. Тогда
(7)
Соотношение (7) называется формулой Симпсона. Формула Симпсона обладает повышенной точностью и является точной не только для многочленов второй степени, но и третьей. Погрешность формулы Симпсона оценивается следующим образом:
,
где
точка
(8)
Для
увеличения точности вычислений отрезок
разбивают на п
пар
участков
(рис. 4) и к каждому из них применяют
формулу (7). Тогда численное значение
определенного интеграла на всем отрезке
будет равно
,
где
(9)
155
Соотношение
(9) называется общей
формулой Симпсона.
Пример
3. Вычислить
по формуле Симпсона
при
.
По
формуле (9) имеем
.
Подставляя в подынтегральную функцию
значения
,
получим
.