- •Розділ 4. Вступ до математичного аналізу
- •4.1. Поняття множини. Логічна символіка. Необхідна і достатня умови, пряма і обернена теореми
- •4.2. Дійсні числа. Деякі числові множини
- •4.3. Поняття функції. Способи завдання числових функцій
- •4.4. Класифікація функцій. Поняття елементарної функції
- •4.5. Неявна функція, обернена функція, функція, задана параметрично
- •4.6. Границя функції. Нескінченно малі та нескінченно великі функції
- •4.7. Властивості границь
- •4.8. Еквівалентні функції
- •4.9. Визначні границі
- •Друга визначна границя:
- •4.10. Неперервні функції. Властивості неперервних функцій. Неперервність елементарних функцій
- •4.11. Асимптоти графіка функції
4.11. Асимптоти графіка функції
Означення. Нехай для функції y = f(x) існує така пряма, що відстань від поточної точки М( x, f(x)) графіка функції до цієї прямої прямує до нуля при віддаленні точки М в нескінченність вздовж графіка функції. Тоді така пряма називається асимптотою графіка функції (рис. 4.5).
Залежно від розташування на координатній площині розрізняють вертикальні і невертикальні асимптоти.
Вертикальна асимптота має рівняння вигляду x = a. Згідно з означен-ням асимптоти пряма x = a є асимптотою тоді і тільки тоді, коли при x a значення функції y = f(x) необмежено зростають, тобто . Одержуємо правило: якщо , то пряма x = a є вертикальною асимптотою графіка цієї функції.
Рівняння невертикальної асимптоти можна записати у вигляді y = kx + b. При віддаленні точки М( x, f(x)) графіка функції в нескінченність в цьому випадку буде x . Відповідно до означення асимптоти пряма y = kx + b буде невертикальною асимптотою функції y = f(x) тоді і тільки тоді, якщо (f(x) (kx + b)) 0 при x . В такому разі і при x , тобто , звідки
. (4.8)
Далі: , звідки
. (4.9)
Одержуємо правило: якщо існують границі (4.8) і (4.9), то пряма y = kx + b є невертикальною асимптотою графіка функції y = f(x). Якщо при цьому k = 0, то асимптота називається горизонтальною, а якщо k 0, то похилою. Якщо хоча б одна з границь (4.8), (4.9) не існує, то графік функції невертикальної асимптоти не має.
Приклад. Знайти асимптоти графіка функції .
Розв'язання. Оскільки функція означена на всій осі, крім точки x = 2, то вона неперервна всюди, крім x = 2.Тому вертикальна асимптота може існувати лише в цій точці. Маємо
,
оскільки функція нескінченно мала при x 2. Отже пряма x = 2 вертикальна асимптота.
Знайдемо невертикальні асимптоти. Для цього обчислимо границі (4.8) та (4.9):
3;
= =1.
Таким чином невертикальна асимптота існує і її рівняння y = 3x + 1 (асимптота похила).