- •Розділ 4. Вступ до математичного аналізу
- •4.1. Поняття множини. Логічна символіка. Необхідна і достатня умови, пряма і обернена теореми
- •4.2. Дійсні числа. Деякі числові множини
- •4.3. Поняття функції. Способи завдання числових функцій
- •4.4. Класифікація функцій. Поняття елементарної функції
- •4.5. Неявна функція, обернена функція, функція, задана параметрично
- •4.6. Границя функції. Нескінченно малі та нескінченно великі функції
- •4.7. Властивості границь
- •4.8. Еквівалентні функції
- •4.9. Визначні границі
- •Друга визначна границя:
- •4.10. Неперервні функції. Властивості неперервних функцій. Неперервність елементарних функцій
- •4.11. Асимптоти графіка функції
4.4. Класифікація функцій. Поняття елементарної функції
Основними елементарними функціями називаються:
-
Стала функція ;
-
Степенева функція , R;
-
Показникова функція ;
-
Логарифмічна функція ;
-
Тригонометричні функції: , , ;
-
Обернені тригонометричні функції: , , .
Функція, визначена одним аналітичним виразом (формулою), утвореним з основних елементарних функцій за допомогою скінченного числа арифметичних дій і композицій (утворення складених функцій) називається елементарною. Наприклад, , , тощо.
Всі інші функції називаються неелементарними. Зокрема, неелементарною є функція, задана різними аналітичними виразами для різних інтервалів зміни аргументу, наприклад
Елементарні функції поділяються на кілька класів.
1. Функція вигляду
,
де п , – будь-які числа називається цілою раціональною функцією або многочленом (поліномом) степеня п. Многочлен першого степеня називають також лінійною функцією, а многочлен другого степеня – квадратичною функцією.
2. Функція, що являє собою відношення двох многочленів
,
називається дробово-раціональною функцією, Многочлен і дробово-раціональні функції разом утворюють клас раціональних функцій.
3. Функція, яка отримана за допомогою скінченного числа арифметичних дій і композицій над степеневими функціями з раціональними показниками, і не є раціональною, називається ірраціональною функцією, наприклад , .
Раціональні і ірраціональні функції входять до більш загального класу – алгебраїчних функцій, які визначаються рівнянням виду
,
де є многочленами.
4. Усяка функція, яка не є алгебраїчною, називається трансцендентною. Це, наприклад, функції , , і т.д.
4.5. Неявна функція, обернена функція, функція, задана параметрично
Досі ми розглядали функції, задані рівнянням вигляду . В цьому випадку кажуть, що функція задана явним чином або є явною. Але функцію може визначати і рівняння вигляду
, (4.1)
не розв’язане відносно залежної змінної у. Тут заданому значенню незалежної змінної ставиться у відповідність значення , яке є коренем рівняння з одним невідомим
.
Цей корінь повинен бути єдиним для того, щоб можна було говорити про функцію, задану рівнянням (4.1), інакше даному значенню х відповідатимуть кілька значень у, що суперечить означенню функції. Про функцію, задану рівнянням вигляду (4.1) кажуть, що вона задана неявно або неявною.
Приклади.
1. Рівняння визначає у як неявну функцію від х, тому що кожному значенню х відповідає єдине значення у, в чому можна переконатися, розв’язавши рівняння відносно у і отримавши явний вираз для у: .
2. Тим часом рівняння не визначає неявної функції, бо, наприклад, значенню відповідають два значення і .
Зазначимо, що явну функцію можна завжди записати як неявно задану рівнянням , але не навпаки, тому що не кожне рівняння вигляду (4.1) можна розв’язати відносно у. Слід мати на увазі, що терміни „явна функція” і „неявна функція” стосуються не природи функції, а способу її аналітичного завдання.
Важливою характеристикою функції є монотонність.
Означення. Розглянемо функцію , визначену в інтервалі . Нехай і – довільні числа з цього інтервалу. Якщо з нерівності випливає, що
а) , то функція називається зростаючою;
б) , то функція називається неспадною;
в) , то функція називається спадною;
г) , то функція називається незростаючою;
Зростаючі, незростаючі, спадні й неспадні функції в інтервалі називаються монотонними в цьому інтервалі, а зростаючі і спадні – строго монотонними.
Нехай функція визначена на множині Х, а множиною її значень є . Це означає, що кожному значенню відповідає єдине значення . Якщо при цьому різним значенням х відповідають різні значення у, то в свою чергу кожному значенню можна поставити у відповідність єдине значення , таке, що . Таким чином буде визначено функцію , яка визначена на множині і має множину значень Х. Ця функція називається оберненою функцією до функції . Проілюструємо це схемою (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Таким чином і , тобто функції і є взаємно оберненими. Зазначимо, що функцію, обернену до функції часто позначають як .
Приклади.
1. Якщо , то .
Справді, ; .
2. Якщо , то , бо
і .
3. Якщо , , то , бо
і .
Теорема Якщо функція строго монотонна в інтервалі , то вона має обернену.
Дійсно, з означення строго монотонної функції випливає, що різним значенням аргументу ставляться у відповідність різні значення функції, а це внаслідок визначення оберненої функції і означає її наявність.
В розділі 3 йшла мова про те, що лінія на площині може бути задана параметричними рівняннями вигляду
(3.5)
Нехай – яке-небудь число з проміжку . Тоді і , тобто рівняння (3.5) ставлять у відповідність кожному числу із області значень функції одне або кілька значень у із області значень функції . Якщо при цьому кожному відповідає єдине значення , то це означає, що рівняння (3.5) визначають функцію із областю визначення і областю значень . Такий спосіб завдання функції називається параметричним. Рівняння (3.5) визначають деяку криву на площині, отже і задана параметрично функція визначає на площині криву, а саме графік цієї функції, але не всяка параметрично задана лінія визначає функцію. Кожному значенню повинно відповідати єдине значення , а це можливо, якщо кожному значенню відповідає єдине значення х, тобто якщо функція має обернену . Якщо ця обернена функція відома, то можна одержати явний вираз функції як складеної функції
.
Приклади.
-
Рівняння
визначають функцію, оскільки змінна строго монотонна на відрізку , отже має обернену, а саме . Тоді явний вираз функції
.
Таким чином задана функція має графіком півколо , розташоване у верхній півплощині, тому що при значення .
2. Рівняння
визначають на площині коло , але функцію не визначають. Справді, наприклад, , тоді як , а .
Зауважимо, що явне чи параметричне визначення функції характеризують не природу функції, а лише спосіб її аналітичного завдання.