1.7. Обратная задача теории погрешностей

Основная задача теории погрешностей заключалась в том, что по известным погрешностям аргументов находилась погрешность функции. На практике очень важное значение имеет и обратная задача: каковы должны быть погрешности аргументов, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины?

На основании общей формулы теории погрешностей имеем

. (1.32)

Задача отыскания допустимых значений абсолютной погрешности аргументов по известной абсолютной погрешности функции является математически неопределенной, так как в общем случае для определения п неизвестных мы имеем одно уравнение.

Обратная задача теории погрешностей имеет однозначное решение только для функции одного аргумента. Действительно, на основании общей формулы теории погрешностей

,

следовательно,

. (1.33)

1. Принцип равных влиянии. Согласно этому принципу предполагается, что все выражения

,

одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности, т.е.

.

Пусть нам задана абсолютная погрешность . На основании общей формулы теории погрешностей можно написать

.

Тогда

,

откуда

.

2. Принцип равных абсолютных погрешностей. Согласно этому принципу предполагается, что

x₁=x₂ =…=x_n .

Тогда из общей формулы теории погрешностей будем иметь

или

.

3. Принцип равных относительных погрешностей. Согласно этому принципу предполагается, что

.

По определению , тогда .

Подставляя это выражение в общую формулу, получим

,

откуда

.

2. Численные методы решения нелинейных уравнений

2.1. Отделение корней

Рассмотрим некоторую функцию f(x).

Определение. Всякое число  обращающее функцию в нуль, т.е. такое, что , называется корнем (нулем) функции или корнем уравнения

f(x)=0. (2.1)

Приближенное вычисление корня, как правило, распадается на две задачи:

1 отделение корней, т.е. определение интервалов, в каждом из которых содержится только один корень уравнения;

2 уточнение корня, т.е. вычисление его с заданной степенью точности.

При отделении корней уравнения общего вида (2.1) часто используется известная из курса математического анализа теорема Больцано - Коши:

пусть функция f(x) непрерывна на отрезке и на концах отрезка принимает значения разных знаков, т.е.

. Тогда существует такая точка  , принадлежащая интервалу , в которой функция обращается в нуль. Заметим, что корень будет единственным, если (или ) существует и сохраняет знак на рассматриваемом отрезке.

Остановимся более подробно на алгебраических уравнениях

. (2.2)

Верхнюю границу модулей корней уравнения (2.2) дает следующая теорема.

Пусть . Тогда любой корень  уравнения (2.2) удовлетворяет условию

. (2.3)

Допустим, что существует корень  уравнения (2.2), не удовлетворяющий условию (2.3), т.е.

. (2.4)

Из (2.4) следует, что

.

Тогда

Согласно (2.4)

и ,

что противоречит предположению о том, что  - корень уравнения (2.2).

2.2. Метод половинного деления

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и имеет на его концах разные по знаку значения. Задача состоит в том, чтобы вычислить корень уравнения (2.1.), принадлежащий отрезку [a,b] с заданной степенью точности  , т.е. найти такое приближенное значение корня X_n, ( п - номер итерации), что

. (2.5)

В методе половинного деления за приближенное значение корня принимается середина отрезка

.

При этом очевидно, что

.

Затем определяется знак и для дальнейшего деления пополам выбирается тот из двух отрезков , на концах которого функция f(x) имеет разные по знаку значения. Расчет продолжается до тех пор, пока не выполнится условие (2.5) либо условие

. (2.6)