4.2. Интерполяционный полином Лагранжа.
Будем строить интерполяционный полином в виде
, (4.9)
где
– многочлены степени не выше п,
обладающие следующим свойством:
.
Действительно, в этом случае полином (4.9) в каждом узле xj, j=0,1,…n, равен соответствующему значению функции yj, т.е. является интерполяционным.
Построим
такие многочлены. Поскольку
при x=x0,x1,…xi-1,xi+1,…xn
,
можно следующим образом разложить на
множители
где
с – постоянная. Из условия
получим, что
и
.
Интерполяционный полином (4.1), записанный в форме
, (4.10)
называют интерполяционным полиномом Лагранжа.
Приближенное
значение функции в точке x*,
вычисленное с помощью полинома Лагранжа,
будет иметь остаточную погрешность
(4.8). Если значения функции yi
в узлах интерполирования xi
заданы приближенно с одинаковой
абсолютной погрешностью
,
то вместо точного значения
будет вычислено приближенное значение
,
причем
,
где
– вычислительная абсолютная погрешность
интерполяционного полинома Лагранжа.
Окончательно имеем следующую оценку
полной погрешности приближенного
значения
.
.
В частности, полиномы Лагранжа первой и второй степени будут иметь вид
а их полные погрешности в точке x*
,
где
; 
.
Существуют другие формы записи того же интерполяционного полинома (4.1), например, рассматриваемая далее интерполяционная формула Ньютона с разделенными разностями и ее варианты. При точных вычислениях значения Рn(х*), получаемые по различным интерполяционным формулам, построенным по одним и тем же узлам, совпадают. Наличие же вычислительной погрешности приводит к различию получаемых по этим формулам значений. Запись многочлена в форме Лагранжа приводит, как правило, к меньшей вычислительной погрешности [1-3].
Использование формул для оценки погрешностей, возникающих при интерполировании, зависит от постановки задачи. Например, если известно количество узлов, а функция задана с достаточно большим количеством верных знаков, то можно поставить задачу вычисления f(x*) с максимально возможной точностью. Если, наоборот, количество верных знаков небольшое, а количество узлов велико, то можно поставить задачу вычисления f(x*) с точностью, которую допускает табличное значение функции, причем для решения этой задачи может потребоваться как разрежение, так и уплотнение таблицы.
4.3. Разделенные разности и их свойства.
Понятие разделенной разности является обобщенным понятием производной. Пусть в точках x0, x1,…xn заданы значения функций f(x0), f(x1),…,f(xn). Разделенные разности первого порядка определяются равенствами
разделенные разности второго порядка – равенствами,
а разделенные разности k-го порядка определяются следующей рекуррентной формулой:
(4.11)
Разделенные разности обычно помещаются в таблицу следующего вида:
|
хi |
f(хi) |
Разделение разности |
|||
|
I порядка |
II порядка |
III порядка |
IV порядка |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
х0 |
y0 |
|
|
|
|
|
|
|
f[x0,x1] |
|
|
|
|
х1 |
y1 |
|
f[x0,x1,x2] |
|
|
|
|
|
f [x1,x2] |
|
f [x0,x1,x2,x3] |
|
|
х2 |
y2 |
|
f [x1,x2,x3] |
|
f[x0,x1,x2,x3,x4] |
|
|
|
f [x2,x3] |
|
f [x1,x2,x3,x4] |
|
|
х3 |
y3 |
|
f [x2,x3,x4] |
|
|
|
|
|
f [x3,x4] |
|
|
|
|
х 4 |
y4 |
|
|
|
|
Рассмотрим следующие свойства разделенных разностей.
1. Разделенные разности всех порядков являются линейными комбинациями значений f(xi), т.е. имеет место следующая формула:
. (4.12)
Докажем справедливость этой формулы индукцией по порядку разностей. Для разностей первого порядка
.
Формула
(4.12) справедлива. Предположим теперь,
что она справедлива для всех разностей
порядка
.
Тогда, согласно (4.11) и (4.12) для разностей порядка k=п+1 имеем
Слагаемые, содержащие f(x0) и f(xn+1), имеют требуемый вид. Рассмотрим слагаемые, содержащие f(xi), i=1, 2, …,n. Таких слагаемых два - из первой и второй сумм:
т.е. формула (4.12) справедлива для разности порядка k=п+1, доказательство закончено.
2. Разделенная разность есть симметрическая функция своих аргументов x0, x1,…xn (т.е. не меняется при любой их перестановке):
.
Это свойство непосредственно следует из равенства (4.12).
3. Простую связь разделенной разности f[x0, x1,…,xn] и производной f(n) (x) дает следующая теорема.
Пусть узлы x0, x1,…xn принадлежат отрезку [a, b] и функция f(x) имеет на этом отрезке непрерывную производную порядка п. Тогда существует такая точка [a, b], что
. (4.13)
Докажем сначала справедливость соотношения
(4.14)
где
.
Согласно (4.12) выражение в квадратных скобках есть
f [x0, x1, …, xn, x].
Из сравнения (4.14) с выражением (4.7) для остаточного члена Rn(x)=f(x)-Ln(x) получим (4.13), теорема доказана.
Из этой теоремы вытекает простое следствие. Для полинома п-ой степени
f(x) = a0 xn+a1 xn-1+…an
производная порядка п, очевидно, есть
и соотношение (4.13) дает для разделенной разности значение
.
Итак, у всякого многочлена степени п разделенные разности порядка п равны постоянной величине – коэффициенту при старшей степени многочлена. Разделенные разности высших порядков (больше п), очевидно, равны нулю. Однако этот вывод справедлив лишь в случае отсутствия вычислительной погрешности у разделенных разностей.