§ 2.6 Альтернативы Фредгольма

Теорема (альтернативы Фредгольма)

Для всякой системы из m уравнений с n неизвестными

(4)

справедливо одно из двух утверждений:

либо система (4) имеет решение при любых значениях b₁, b₂,…,b_m и тогда система

(5)

имеет лишь тривиальные решения;

либо система (4) при некотором наборе b₁, b₂,…,b_m не имеет решений и тогда система (5) имеет нетривиальные решения (бесконечное число решений).

Пример 1. Рассмотрим систему 2-х уравнений с 3-мя неизвестными

3х₁ - 2х₂ + х₃ = b₁

х₁ + 3х₂ + 3х₃ = b₂

Ранг матрицы коэффициентов равен 2 при любых значениях b₁, b₂ . Следовательно система имеет бесконечное число решений, а система

3y₁ + y₂ = 0

-2y₁ + 3y₂ = 0

y₁ + 3y₂ = 0

имеет единственное тривиальное решение.

Пример 2. Рассмотрим систему 2-х уравнений с 3-мя неизвестными

2х₁ - 4х₂ + 6х₃ = b₁

х₁ + 2х₂ + 3х₃ = b₂

Ранг матрицы коэффициентов равен 1 при любых значениях b₁, b₂ . Следовательно система не имеет решений. Тогда система

2y₁ + y₂ = 0

-4y₁ + 2y₂ = 0

6y₁ + 3y₂ = 0

имеет бесконечное число решений.

§ 2.7 Характеристический многочлен

Пусть А – квадратная матрица порядка n. Если Х столбец высоты n, то имеет смысл произведение АХ, которое также является столбцом высоты n. При определенных условиях может найтись некоторое число , что будет выполняться равенство

АХ = Х

Если Х нулевой столбец, то проблем не возникает – такое число всегда найдется, но если столбец Х не является нулевым, то поиск числа может оказаться не тривиальным.

Определение 1. Число из поля К называется собственным значением (собственным числом) матрицы А, если существует ненулевой столбец Х такой, что АХ = Х.

Если собственное число матрицы А, то любой столбец Х, в том числе и нулевой, называется собственным столбцом матрицы А, отвечающим собственному числу .

Рассмотрим матрицу А и столбец Х из набора неизвестных х₁,…,х_n. Тогда выражение АХ = Х можно записать

(1)

Перенесем элементы правой части в левую и объединив коэффициенты при одних и тех же неизвестных, получим систему

(2)

Так как каждому собственному числу соответствует ненулевой столбец (т.е. ненулевые значения неизвестных х), то определитель матрицы системы (2) равен нулю, т.е.

Определение 2. Уравнение называется характеристическим уравнением матрица А.

При этом многочлен от переменной называется характеристическим многочленом матрицы А.

Используя приведенные выше выкладки, легко доказать следующую теорему:

Теорема 1. Для того чтобы число было собственным значением матрицы А (или собственным числом матрицы А) необходимо и достаточно, чтобы число было корнем характеристического уравнения матрицы А.

Заметим, что для данного собственного числа найдется бесконечное число собственных столбцов (в том числе нулевой столбец).

Определение 3.Множество собственных чисел матрицы А называется ее спектром.

Отметим основные свойства собственных чисел матрицы А

1. Количество собственных чисел матрицы равно ее порядку – т.к. степень многочлена совпадает с порядком матрицы А

2. Сумма всех собственных чисел матрицы равна ее следу – например, для матрицы порядка 2 этот результат следует из теоремы Виета, для матрицы n-го порядка – коэффициенту при степени (n-1).

3. Число отличных от нулю собственных чисел равно рагу матрицы А.

4. В любой симметричной матрице собственные числа являются только вещественными

5. Произведение собственных чисел матрицы А равно определителю матрицы А

6. Если  - собственное число невырожденной матрицы А, 1/ - собственное число обратной матрицы А^-1

7. Если  - собственное число матрицы А, ^k - собственное число матрицы А^k

Определение 4. Квадратные матрицы одного порядка, имеющие одинаковые спектры, называются подобными.

Пример. Матрицы А = и В = будут подобными.

8. Квадратные матрицы А и А^Т подобные (при этом собственные вектора, отвечающие одинаковым собственным числам, вообще говоря, различны!)

9. Собственным числам диагональной матрицы являются числа, стоящие на ее главной диагонали.

10. Пусть все собственные числа квадратной матрицы А различны, В – квадратная матрица, столбцами которой являются собственные столбцы матрицы А, соответствующие разным собственным числам матрицы А. Тогда матрица В^-1АВ будет диагональной матрицей, подобной матрице А.

Действительно, так как АХ =Х, то

АВ =А(Х₁,Х₂ ,…,Х_n)=(₁Х₁,…, _nХ_n)= B=BD

Тогда, умножив АВ=ВD на В^-1, получим В^-1АВ= D

Результат свойства 10 сыграет важную роль в главе 4.

11.Теорема ( Перрона )

Если все элементы матрицы положительны, то существует максимальное собственное число , которому отвечает собственный столбец с компонентами, сумма которых равна 1.

Проиллюстрируем использование характеристического многочлена и его свойств на следующем примере.

Некто должен выбрать из двух представленных вариантов месторасположения фирма наилучший. Критериями, на которых основан выбор, являются:

- максимальная прибыть К1,

- возможность расширения производства К2,

- долгосрочность местного рынка К3.

Реализация каждого из критериев зависит от следующих факторов:

- сегмент потребителей Ф1,

- транспортные подходы Ф2,

- ценовая политика фирмы Ф3.

Понятно, что как критерии, так и факторы, не являются равноценными. Следовательно, необходимо ввести механизм, позволяющий ранжировать эти показатели между собой. Механизмом, позволяющим ранжировать введенные выше показатели, называют шкалой относительных весов. Понятно, что чем шире шкала, тем богаче выбор для оценивания относительной важности сравниваемых показателей и тем точнее будет произведен выбор.

Для введенных в задаче критериев К_i показатель а_ij должен определять, во сколько раз критерий К_i является более важным, чем критерий K_j , то есть .

Такие весовые показатели можно использовать для построения матрицы парных сравнений А = {a_ij} , в которой номера строк и столбцов указывают соответствующий критерий сравнения, а элемент a_ij этой матрицы представляет собой число, показывающее, во сколько раз вес объекта К_i больше веса объекта K_j . Легко заметить, что построенная по указанному принципу матрица парных сравнений обладает следующими свойствами:

- все элементы матрицы А положительны,

- диагональные элементы матрицы А равны 1,

- матрица А обратно симметрична, т.е. равенство имеет место для всех i, j.

- элементы матрицы удовлетворяют свойству: a_ij  a_jk = a_ik .

Легко заметить, что если матрица парных сравнений обладает всеми 4 свойствами, то все ее миноры 2-го порядка равны нулю. Следовательно, ранг матрицы равен 1 и матрице А отвечает единственное, отличное от нуля, собственное число, равное сумме элементов диагонали ( следу матрицы), т.е.  = n.

Если вектор – столбец =, имеет место равенство: А  = n .

Итак, среди собственных значений матрицы относительных весов существует единственное собственное число  = n. Причем, согласно теорема Перрона, данному собственному значению  = n соответствует собственный столбец , сумма компонент которого равна единице.

Пусть матрица относительных весов порядка 3 определена следующим образом

1 1/2 3

A = 2 1 4 ,

1/3 1/4 1

рассмотрим характеристическое уравнение  А -  Е = 0 или

1 -  ½ 3

2 1 -  4 = 18² - 6³ + 1 = 0

1/3 ¼ 1 - 

один из корней которого является вещественным числом  = 3.

Два других корня комплексные, по модулю меньшие 3. Найдем собственный вектор, отвечающий собственному числу  = 3.

- 2х₁ + 0.5х₂ + 3 х₃ = 0

х₁ - х₂ + 2 х₃ = 0

1/3х₁ - ¼ х₂ - 2 х₃ = 0

В результате решения уравнения получим собственный столбец, отвечающий собственному числу  = 3

W = (8с / 3, 14c / 3, c )

Используя условие нормировки : ₁ + ₂ + … + _n = 1 , находим значение с = 3 / 25. В результате искомый нормализованный собственный вектор имеет вид:

( ₁ = 8 / 25, ₂ = 14 / 25, ₃ = 3 / 25 ).

Если мы абстрагируем весовые показатели матрицы А относительно критериев, получим

К1: ₁ = 8 / 25, К2: ₂ = 14 / 25, К3: ₃ = 3 / 25.

Итак, наиболее важным критерием является К2.

Если провести подобные расчеты для нахождения весовых показателей факторов относительно их влияния на тот или иной критерий, а также найдем вес каждого фактора в зависимости от того или иного месторасположения, то получим матрицу С весовых показателей факторов по их влиянию на критерии ( условные значения )

К1 К2 К3

Ф1 0.3 0.4 0.2

Ф2 0.2 0.3 0.6

Ф3 0.5 0.3 0.2

Матрица D весовых показателей месторасположений по их влиянию на факторы :

Ф1 Ф2 Ф3

М1 0.6 0.5 0.3

М2 0.4 0.5 0.7

Таким образом, более «весомым» является месторасположение М2.