- •Глава 2. Системы алгебраических уравнений
- •§ 2.1 Основные определения
- •§ 2.2 Методы решения квадратных систем уравнений
- •§ 2.3 Ранг матрицы
- •Важное практическое применение имеет следующая теорема
- •§ 2.4 Теорема Кронекера - Капелли
- •§ 2.5 Общее решение системы линейных уравнений
- •§ 2.6 Альтернативы Фредгольма
- •§ 2.7 Характеристический многочлен
§ 2.3 Ранг матрицы
Пусть в матрице размера m x n выбраны произвольно k строк и k столбцов, причем k min(m, n). Элементы, стоящие на пересечении выбранных строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка k, определитель которой называется минором k-ого порядка матрицы .
Количество миноров k-го порядка в матрице (m,n) определяется по формуле , где Сij – называют сочетаниями из j элементов по i элементам (число различных поднаборов из k элементов, выбранные из исходных n элементов),
Пример. В матрице 4х5 число миноров 3-го порядка будет равно
Теорема 1. Если в матрице все миноры k-го порядка равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков.
Доказательство теоремы следует из разложения любого минора (k+1) порядка по любой строке или столбцу: так как все миноры порядка k равны нулю, то и сумма произведений элементов строки на миноры порядка k равны нулю.
Определение 1. Максимальный порядок r отличных от нуля миноров матрицы называется ее рангом и обозначается .
Пример. Ранг матрицы А= равен 2, а ранг матрицы В=
равен 1, так как все миноры 2-го порядка равны нулю.
Определение 2. Если ранг матрицы равен r, то отличные от нуля миноры порядка r называют базисными (их может быть несколько). Строки и столбцы, на пересечении которых расположен базисный минор, называют базисными строками и столбцами.
Пример. В матрице А = с рангом 2 присутствуют 3 минора
порядка 2, из них 2 базисных минора. Базисными строками будет 1 и 3, 3 и 4, но не будет 1 и 4, т.к. этот минор 2-го порядка равен нулю. Базисными столбцами будут 1-ый и 3-ий.
Замечание. Если все элементы матрицы равны нулю, то .
Основными методами вычисления ранга матрицы являются метод элементарных преобразований и метод окаймляющих миноров.
Определение 3. Элементарным преобразованиями над строками (столбцами) матрицы называют следующие операции:
-
Умножение элементов строки на любое число отличное от нуля
-
Прибавление к строке любой другой строки
-
Перемена двух строк местами
Элементарные операции обладают следующими свойствами:
-
одна операция п.3 равносильна последовательному выполнению операций п.1 и п.2 ( доказать!),
-
операции обратимы, т.е. применяя операции п.1-3 переходят от матрицы А к матрицы В, обратными операциями (умножению - деление, сложению – вычитание) переходят от матрицы В к А,
-
при элементарных операциях ранг матрицы не меняется.
Приведенные свойства позволяют вычислять ранги любых матриц.
Примеры. 1.Вычислим ранг матрицы методом элементарных преобразований. Помножим 1-ю и 4-ю строки на , 3-ю строку - на и переставим первую и третью строки:
.
Если из 2-ой строки вычесть 1-ю, а из 4-ой - удвоенную 1-ю строку, то получим:, .
2. Метод окаймляющих миноров строится на следующем принципе:
Если в матрице найдется минор порядка k отличный от нуля, а все содержащие его внутри себя миноры порядка (k+1) равны нулю, то ранг матрицы равен k.
Вычислим ранг матрицы . Минор второго порядка отличен от нуля. Его окаймляют (содержат внутри себя) три минора третьего порядка: , ,
и минор , то .