![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •Тема 1.
- •Суть, призначення та умови застосування тй та мс
- •Основні типи соціально-економічних задач, які розв'язуються методами тй та мс.
- •Стохастичний експеримент
- •Випадкові події та операції над ними.
- •Ймовірності в дискретних просторах елементарних подій.
- •Частотне та класичне означення ймовірності.
- •Елементи комбінаторики.
- •Тема 2 Геометричне означення ймовірності. Аксіоми теорії ймовірностей.
- •Геометричне означення ймовірності
- •Аксіоми теорії ймовірностей.
- •Тема 3. Умовні ймовірності. Формула повної ймовірності, формула Байєса. Незалежні події.
- •Тема 4. Дискретні випадкові величини. Основні числові характеристики.
- •Тема 6. Неперервні випадкові величини (нвв)
- •Тема 7.
- •2. Функції від випадкових величин.
- •Тема 8.
- •Тема 9. Закон великих чисел. Центральна гранична теорема.
- •Центральна гранична теорема.
- •Тема 10. Елементи описової статистики. Емпірична функція розподілу. Гістограма.
- •Елементи описової статистики.
- •Емпірична функція розподілу. Гістограма.
- •Тема 11. Статистичне оцінювання параметрів. Вибіркове середнє та дисперсія.
- •Вибіркове середнє квадратичне відхилення:
- •Вибіркова мода:
- •Вибіркова медіана:
- •Незміщенність
- •Ефективність
- •Тема 12. Методи моментів і максимальної правдоподібності. Надійні інтервали.
- •Тема 13. Перевірка статистичних гіпотез
- •Тема 14.
- •Тема 15.
- •16.Коефіцієнт кореляції рангів
Тема 6. Неперервні випадкові величини (нвв)
ВВ ξ називається неперервною, якщо існує кусково неперервна функція р(х) така, що функція розподілу ймовірностей ВВ ξ має вигляд
F(x)=
Кусково-неперервна функція або неперервна або має точку розриву 1го роду.
Функція р(х) називається цільністю розподілу ймовірностей НВВξ
·р(х) ≥0 …. ·.
·F’(x)=р(х),в точка неперервності р (х)
…………………………………….
Геометрич. зміст властивойстей р(х)
1) Графік р(х) лежить не нижче осі Ох
2) Площа фікури обмежена графіком у=р(х) і віссю Ох
ВВ ξ – Р {ξ є [α,β] } = F(β) – F(α)
НВВξ– Р {ξ
є [α,β]
} =
Функція розподілу НВВξ є неперервною функцією, тому ймовірність попадання ξ в точку = 0. Отже, при обчисленні ймовірності попадання НВВ ξ в проміжок не має значення чи включаються кінці проміжку чи ні.
F’(x)=p(x)
Числові характеристики НВВ ξ
Мξ=
Dξ=……………………………
σξ=√D
Тема 7.
1.Ріномірний
розподіл-НВВ
ξ
має рівномірний розподіл на відрізку
,
якщо її щільність задається формулою:
Mξ
=
Mξ2
=
Dξ
=
ξ
=
Показниковий розподіл-НВВ ξ має показниковий розподіл з параметром λ>0, якщо її щільність задаеться формулою:
Mξ=ξ=
Нормальний
розподіл- НВВ
ξ має нормальний
розподіл з параметрами ,
якщо її щільність визначається формулою:
P(x)=
;
F(x)=;
Mξ=a;
ξ=
;
Dξ=2;
2. Функції від випадкових величин.
Нехай задана монотонна функція y=g(x).Введемо випадкову ВВη= g(ξ)
g(ξ)
}
=
Нехай -НВВ,
P
Тема 8.
Математичним
сподіванням
ДВВ ξ називається Mξ
= ,
де ряд є абсолютно збіжним.
Дисперсією
ДВВ ξ називається число Dξ=
Нерівність Чебишева:
Для довільної ВВ
ξ, що має Mξ
та Dξ
та для довільної >0
виконується:
P
P
Якщо ξ має біноміальний
розподіл, то нерівність набуде такого
вигляду:
P;
Коефіцієнт кореляції –
Тема 9. Закон великих чисел. Центральна гранична теорема.
-
Теорема Чебишева (Закон великих чисел).
Якщо
…
– послідовність НВВ, що мають М
=
, і=1,∞ та обмежені в сукупності дисперсії
(
,тоді
ε>0 виконується:
Зміст
теореми:
при великих значеннях n
( ВВ)практично
вирогідно,що
ВВ
мало відрізняється від детермінованої
величини
, тобто
при
зростанні
n
ВВ втрачає свою випадковість і
перетворюється у детерміновану.
Доведення:
η =
ΣD
Нерівність Маркова(Чебишева): нехай ВВξ невід’ємна ξ≥0 та має матем сподівання, тоді при А>0 виконується :
або
Доведення для ДВВ ξ:
ξ |
|
|
|
Р |
|
|
|
М=
при
А>0⇒
.
Мξ=
Нерівність Чебишева: для довільної ВВξ, що має матем сподівання і дисперсію та для довільного ε>0 виконується:
або
Доведення:
η =
; A=
Якщо
ξ має
біноміальний розподіл,то нерівність
набуде такого вигляду:
; M(
D
⇒
-
Центральна гранична теорема.
ЦГТ – це комплекс теорем про закон розподілу сумм ВВ.
Теорема
Ліндеберга-Леві:якщо
…
-послідовність
незалежних, однаково розподілених ВВ,
що мають М
=
та дисперсії δ
,то
стандартна сума цих величин при n→∞
має розподіл, який наближається до
стандартного нормального.
Наслідок
з ЦГТ:
Інтегральна теорема Муавра-Лапласа:
|
0 |
1 |
P |
q |
p |
якщо
в i-тому
випробуванні успі;
якщо
невдача.
q
+
p=1
М=p
D
=
Якщо
і=1,∞
- послідовність незал випробувань,в
кожному з яких може настати успіх або
невдача,то виконується:
- к-сть успіхів у випробуванні