Тема 2 Геометричне означення ймовірності. Аксіоми теорії ймовірностей.

1. Геометричне означення ймовірності

Суть геометричної ймовірності: нехай в деякій обмеженій множині Ω n- вимірниого евклідового простору навмання обирають точку. Під «Точка взята навмання» розуміється, що точку взято з множини А c Ω, ймовірність Р(А) дорівнює:

P(A)=

m(A) –міра (довжина(пряма), площа (площина), об’єм(простір)

2. Аксіоми теорії ймовірностей.

Ймовірність – це ф-ція від випадкової події.

Нехай Ω - це довільний простір елементар. подій. S – деяка сукупність подій з Ω. Сукупність подій (S) назив. алгеброю подій, якщо виконуються умови:

1. Ω є S

2. А є S → А є S

3. А є S, В є S → АUВ є S та А∩В є S

Алгебра подій (S) назив. δ- алгебра випадкових подій, якщо виконуються умови:

1. Ω є S

2. А є S → А є S

3. Якщо є S → U є S та ∩ є S

Числова ф-ція Р визначена на δ- алгебрі подій S назив. ймовірністю подій, якщо виконуються такі умови:

Аксіоми:

1. Аксіома1 Р (А)≥0, А є S

2. Аксіома2 Р (Ω) =1

3. Аксіома3 Аксіома з численної адитивності. Якщо в послідовності подій … ( є S) всі події попарно несумісні. Р( U ) = Σ Р()

(Ω, S, Р) – називають ймовірнісним простором

Тема 3. Умовні ймовірності. Формула повної ймовірності, формула Байєса. Незалежні події.

Незалежні події.

Означення: Події А і В назив. незалежними, якщо виконується: Р(А∩В)=Р(А)×Р(В).

Теорема: Якщо А і В незалежні, можливі, то Р(А/В) =Р(А), Р(В/А) =Р(В). Умовні ймовірності подій дорівнюють відповідним безумовним ймовірностям.

Доведення: Р(А/В) = =

Теорема: якщо А і В незалежні, то незалежними є і такі події: А і ; і В; .

Доведення: А∩=А – (А∩В)

Р(А∩) = Р(А–(А∩В)) = Р(А)–Р(А∩В) = Р(А)–Р(В)×Р(А) = Р(А)(1-Р(В))=Р(А)Р(В)

Висновок: А і незалежні.

Нехай А і В можливі події.

І Якщо А і В – незалежні, то вони сумісні

ІІ Якщо А і В – несумісні, то вони залежні.

Доведення: І Нехай А і В незалежні, тоді Р(А∩В)=Р(А)Р(В)0 (А∩В)≠0 А і В сумісні.

Означення: Випадкові події , , …, назив. незалежними в сукупності, якщо для будь-якого натур. k, 1≤k≤n і будь-якого набору індексів , ,…, , 1≤≤≤…≤≤ n, виконується ймовірність

Р() =

Якщо події незалежні в сукупності, то вони і попарно незалежні:

Р(∩) = Р()Р()

Навпаки взагалі кажучи не вірно.

Теорема:

Якщо події , , …, незалежні в сукупності, то ймовірність настання хоча б однієї з них визначається за формулою:

Р() = 1 – P()P()…P()

Доведення: Р() = 1 – P() = 1 – P() = 1-P()P()…P()

Умовні ймовірності

Нехай (, S, P) — ймовірнісний простір і P(B)>0, B S. Умовною ймовірністю події A (A S) називається величина

Р(А/В) = , Р(В)0

Р(В/А) = , Р(А)0

Формула множення ймовірностей

Р(А∩В) = Р(В)Р(А/В)=Р(А)Р(В/А)

Формула множення для трьох подій:

Р(А∩В∩С) = Р(А)Р(В/А)Р(С/А∩В)

Формула повної ймовірності. Формула Байєса

Означення: Події , , …, утворюють повну групу подій,, якщо настання хоча б однієї з них є вірогідною подією.

= 

Якщо , , …, попарно несумісні, то виконується:

= 1

Доведення: = Р() = Р() = 1

Події , , …, називаються гіпотезами по відношенню до події А, якщо А може настати лише з одною з цих гіпотез та визначена ймовірність Р(А/).

Теорема: Якщо А – довільна подія, , , …, - гіпотези по відношенню до А, то має місце формула повної ймовірності.

Р(А) =

Доведення: Р(А) = Р(А∩) = Р(А∩()) = Р() = =

Ймовірністі гіпотез Р() назив. апріорними (доекспериментними). Якщо ці ймовірності невідомі, то припускають, що вони рівні між собою, проводять експеримент, спостерігають чи настала подія А, а потім переоцінюють ймовірності гіпотез.

Нові ймовірності назив. апостеріорними ймовірностями гіпотез Р()

Формула Байєса:

Р() = ; і=

Доведення:

= P()P() = P()