![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Первообразная. Неопределённый интеграл. Таблица неопределённых вариантов.
- •2. Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •1) Внесение под знак диф-ла:
- •2) Вынесение из-под знака диф-ла:
- •3.Интегрирование по частям.
- •4. Разложение прав. Рац. Дроби в сумму простейших. Интегрирование рац. Дробей.
- •7777. Интегрирование тригонометрических функций.
- •7. Интегрирование иррац-тей.
- •8. Задачи, приводящие к понятию определения ои
- •9. Определение ои как предела инт суммы. Св ои.
- •11. Инт с перем верхним пределом Формула н-л.
- •11. Замена переменных и интег-ние по частям.
- •11. Геометрические и физические приложения о и
- •13. Нес инт с бескон пред инт-я. Н и от ннеогран ф-й
- •16. Функции нескольких переменных. Предел фмп. . Частные производные
- •20 Частные производные высших порядков.
- •21. Дифференцируемость фмп. Полный дифференциал. Уравнения Касательной и нормали
- •15. Дифференцируемость фмп. Полный дифференциал. Уравнения Касательной и нормали
- •25. Условный экстремум фнп
- •26. Основные понятия теории дифферинциальных уравнений.
- •30. Уравнения в полных дифференциалах
- •31. Линейные ду 1 порядка: однор и неоднор, метод Бернули
- •Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
- •33.Уравнение Бернулли.
- •35. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
- •36Лду-n: однор и неоднор Линейный диф опер-р его св-ва, св-св реш лду.
- •36 Лоду с постоянными коэффициентами: случай различных действительных корней хар-го Ур-я.
- •При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
- •37. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: все корни хар-го Ур-я различны, но есть комплексные
- •При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
- •38. Структура общего решения лнду-n. Принцип суперпозиции
- •38. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
- •39. Метод вариации произвольных постоянных.
- •42. Двойные интегралы. Св-ва.
- •43. Тройной интеграл: определение, свойства.
- •45. Вычисление тройных интегралов
- •44 Замена переменной в двойном интеграле.Полярная система координат площ плоской фигуры
- •45. Ти в цилинд. И координатах. Переход в тройном интеграле от декартовой к цилиндрической си-ме коорд
- •45. Ти в сферич. Координатах. Переход в тройном интеграле от декартовой к сферической си-ме коорд.
15. Дифференцируемость фмп. Полный дифференциал. Уравнения Касательной и нормали
нормаль
N
N0
касательная плоскость
Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0.
Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М0(х0, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:
.
Уравнение нормали к
поверхности в этой точке:
Пример. Найти
уравнения касательной плоскости и
нормали к поверхности
в точке М(1, 1, 1).
,
Уравнение касательной
плоскости:
Уравнение нормали:
Градиент и полная производная ФМП. Производная по направлению. Частные производные высших порядков
Определение: Если в некоторой области D задана функция u = u(x, y, z) и некоторый вектор, проекции которого на координатные оси равны значениям функции u в соответствующей точке
,
то этот вектор называется градиентом
функции u.
При этом говорят, что в области D
задано поле градиентов. Градиент
ф-ии 1) – вектор, координатами к-го явл.
част. производные по x,y,z.
Градиент направлен по нормали или линии уровня.
(grad(u)*ē)=|grad(u)|*| ē |*cosφ
ē=cosα*i+cosβ*j+cosγ*k
|∂F/∂x*cosα+∂F/∂y*cosβ+∂F/∂z*cosj|=|∂F/∂l|
|grad(u)|*cosφ=|∂F/∂l|
Рассмотрим функцию u(x, y, z) в точке М( x, y, z) и точке М1( x + x, y + y, z + z).
Проведем
через точки М и М1 вектор
.
Углы наклона этого вектора к направлению
координатных осей х, у, z
обозначим соответственно ,
, .
Косинусы этих углов называются
направляющими косинусами вектора
.
Расстояние между
точками М и М1 на векторе
обозначим S.
z
M
M1
y
x
предположим, что функция u(x, y, z) непрерывна и имеет непрерывн частные пр по переменным х, у и z. Тогда:
Градиент и полная
производная ФМП. Производная по
направлению. Частные производные высших
порядков
,
где 1, 2,
3 – беск малые
при
.
Из геометрических
соображений очевидно:
Таким образом,
;
Заметим,
что величина s является
скалярной. Она лишь определяет направление
вектора
.
Определение:
Предел
называется производной функции u(x,
y, z)
по направлению вектора
в точке с координатами ( x,
y, z).
23-24. Экстремум ФНП.
Определение. Если
для функции z = f(x,
y), определенной в некоторой
области, в некоторой окрестности точки
М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой максимума.
Определение. Если
для функции z = f(x,
y), определенной в некоторой
области, в некоторой окрестности точки
М0(х0, у0) верно неравенство
то точка М0 называется точкой минимума.
Теорема. (Необходимые условия экстремума).
Если функция f(x,y)
в точке (х0, у0) имеет экстремум,
то в этой точке либо обе ее частные
производные первого порядка равны нулю
,
либо хотя бы одна из них не существует.
Эту точку (х0, у0) будем
называть критической точкой.
Теорема. (Достаточные условия экстремума).
Пусть в окрестности критической точки (х0, у0) функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно. Рассмотрим выражение:
-
Если D(x0, y0) > 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) имеет экстремум, если
- максимум, если
- минимум.
-
Если D(x0, y0) < 0, то в точке (х0, у0) функция f(x, y) не имеет экстремума
В случае, если D = 0, вывод о наличии экстремума сделать нельзя.