![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Первообразная. Неопределённый интеграл. Таблица неопределённых вариантов.
- •2. Замена переменной в неопределенном интеграле.
- •1) Внесение под знак диф-ла:
- •2) Вынесение из-под знака диф-ла:
- •3.Интегрирование по частям.
- •4. Разложение прав. Рац. Дроби в сумму простейших. Интегрирование рац. Дробей.
- •7777. Интегрирование тригонометрических функций.
- •7. Интегрирование иррац-тей.
- •8. Задачи, приводящие к понятию определения ои
- •9. Определение ои как предела инт суммы. Св ои.
- •11. Инт с перем верхним пределом Формула н-л.
- •11. Замена переменных и интег-ние по частям.
- •11. Геометрические и физические приложения о и
- •13. Нес инт с бескон пред инт-я. Н и от ннеогран ф-й
- •16. Функции нескольких переменных. Предел фмп. . Частные производные
- •20 Частные производные высших порядков.
- •21. Дифференцируемость фмп. Полный дифференциал. Уравнения Касательной и нормали
- •15. Дифференцируемость фмп. Полный дифференциал. Уравнения Касательной и нормали
- •25. Условный экстремум фнп
- •26. Основные понятия теории дифферинциальных уравнений.
- •30. Уравнения в полных дифференциалах
- •31. Линейные ду 1 порядка: однор и неоднор, метод Бернули
- •Подставляем полученное соотношение в исходное уравнение
- •33.Уравнение Бернулли.
- •35. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
- •36Лду-n: однор и неоднор Линейный диф опер-р его св-ва, св-св реш лду.
- •36 Лоду с постоянными коэффициентами: случай различных действительных корней хар-го Ур-я.
- •При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
- •37. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами: все корни хар-го Ур-я различны, но есть комплексные
- •При этом многочлен называется характеристическим многочленом дифференциального уравнения.
- •38. Структура общего решения лнду-n. Принцип суперпозиции
- •38. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Уравнения с правой частью специального вида.
- •39. Метод вариации произвольных постоянных.
- •42. Двойные интегралы. Св-ва.
- •43. Тройной интеграл: определение, свойства.
- •45. Вычисление тройных интегралов
- •44 Замена переменной в двойном интеграле.Полярная система координат площ плоской фигуры
- •45. Ти в цилинд. И координатах. Переход в тройном интеграле от декартовой к цилиндрической си-ме коорд
- •45. Ти в сферич. Координатах. Переход в тройном интеграле от декартовой к сферической си-ме коорд.
35. Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
Рассмотрим
уравнение вида
Определение.
Выражение
называется линейным дифференциальным
оператором.
Линейный
дифференциальный оператор обладает
следующими свойствами:1)
2)
Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами:
1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением.
2) Если функции у1 и у2 являются решениями уравнения, то у1 +у2 также является его решением.
Структура общего решения.
Определение. Фундаментальной системой решений линейного однородного дифференциального уравнения n –го порядка на интервале (a, b) называется всякая система n линейно независимых на этом интервале решений уравнения.
Определение.
Если из функций yi
составить определитель n
– го порядка,то
этот опр наз-ся опред Вронского.
Теорема.
Если функции
линейно зависимы, то составленный для
них определитель Вронского равен нулю.
Теорема.
Если функции
линейно
независимы, то составленный для них
определитель Вронского не равен нулю
ни в одной точке рассматриваемого
интервала.
Теорема.
Для того, чтобы система решений
линейного однородного дифференциального
уравнения
была фундаментальной необходимо и
достаточно, чтобы составленный для них
определитель Вронского был не равен
нулю.
Теорема.
Если
- фундаментальная система решений на
интервале (a, b),
то общее решение ЛОДУ является линейной
комбинацией этих решений.
,
где Ci –постоянные коэффициенты.
36Лду-n: однор и неоднор Линейный диф опер-р его св-ва, св-св реш лду.
Опр. ЛДУ n
– го порядка называется любое Ур-е
первой степени отн-но ф-ии у и ее
производных
вида:
где
p0, p1,
…,pn
– функции от х или постоянные
величины, причем p0
0. Левую часть этого Ур-я обозначим
L(y).
Опр.
Если f(x)
= 0, то ур-е L(y)
= 0 называется ЛОДУ, если f(x)
0, то уравнение L(y)
= f(x)
называется ЛНДУ, если все коэффициенты
p0, p1,
p2, … pn
– постоянные числа, то уравнение L(y)
= f(x)
называется линейным ДУ высшего порядка
с постоянными коэффициентами.
Линейные однородные дифференциальные уравнения с произвольными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение вида
Опр.
Выражение
называется линейным дифференциальным
оператором.Линейный дифференциальный
оператор обладает следующими свойствами:
1)
2)
Решения линейного однородного уравнения обладают следующими свойствами: 1) Если функция у1 является решением уравнения, то функция Су1, где С – постоянное число, также является его решением. 2) Если функции у1 и у2 являются решениями Ур-я, то у1 +у2 также является его решением.
Структура общего решения. Общее решение ЛОДУ второго порядка. Из вышеизложенного видно, что отыскание общего решения ЛОДУ сводится к нахождению его фундаментальной системы решений.
Однако, даже для уравнения второго порядка, если коэффициенты р зависят от х, эта задача не может быть решена в общем виде.
Тем не
менее, если известно одно ненулевое
частное решение, то задача может быть
решена.Теорема. Если задано
уравнение вида
и известно одно ненулевое решение у =
у1, то общее решение может
быть найдено по формуле: