![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1. Введение в исо. Предмет и история исо. Основные этапы и принципы операционного исследования. Постановка задач исо.
- •2. Постановка многокритериальной задачи.
- •3. Неопределенность природы и действий противника: принцип гарантированного результата
- •4. Основные понятия, принципы и классификация игр.
- •5. Решение матричных игр в смешанных стратегиях.
- •6. Решение игры 22
- •7. Упрощение игр
- •8. Игры с природой. Критерий Байеса
- •9. Бескоалиционные игры. Определение бескоалиционной игры. Равновесные ситуации и стратегии.
- •10. Теорема Нэша для бескоалиционных игр.
- •11. Методы анализа сетей. Потоки на сетях.
- •12. Теорема Форда-Фалкерсона
- •13. Комбинированные приложения з-чи о максимальном потоке. Простейшая з-ча о назначении.
- •I. Предварительный этап.
- •II. Этап расстановки пометок.
- •III. Этап переброски.
- •14. Классическая задача о назначении.
- •I этап. Приведение матрицы.
- •II этап. Выбор назначений.
- •III этап. Дополнительное приведение матрицы.
- •15. Основные этапы и понятия сетевого планирования и управления(спу)
- •17. Задача оптимального по времени распределения ограниченных ресурсов на сетевых графиках
- •19. Общая задача теории расписаний.
6. Решение игры 22
Пусть
имеем матричную игру 22
с платежной матрицей
,
которая не имеет седловой точки. В данном
случае все стратегии игроков являются
активными. Пусть первый игрок применяет
смешанную стратегию
тогда если игрок B
применяет
первую чистую стратегию, выигрыш
.
Аналогично, если игрок В
применяет вторую чистую стратегию,
выигрыш не изменится и будет равен
.
Получаем
систему для нахождения
и
:
Решение этой системы следущее:
.
Аналогично
находим смешанную стратегию
для игрока В
из
системы
Откуда
Графическое
решение игр 2n
b
m
2.
Рассмотрим
матричную игру 2n
с платежной матрице С.
По оси Ох
будем
откладывать стратегии первого игрока.
Координата х
на
оси абсцисс это вероятность
(вероятность
выбора стратегии
).
Тогда расстояние от х
до 1,
т.е.
- это вероятность
(вероятность
выбора стратегии
).
Пусть
второй игрок В
выбрал
свою j-ую
чистую стратегию. Тогда средний выигрыш
игрока А
равен
.
По оси ординат будем откладывать средние
выигрыши 1-го игрока в случае, когда он
выбрал смешанную стратегию
,
а второй игрок чистую стратегию j.
В
соответствии с принципом минимакса
оптимальная стратегия
1-го игрока таковы, что min
выигрыш его будет соответствовать
нижней огибающей всех прямых соответствующих
стратегиям 2-го игрока. Полученная
огибающая обращена выпуклостью вверх,
ее наивысшая точка определяет оптимальную
стратегию 1-го игрока
.
Определим оптимальную стратегию 2-го игрока. Возможны следующие случаи:
1).
Огибающая имеет горизонтальный участок.
Такое возможно в случае, когда
,
при этом оптимальной стратегией для
второго игрока является чистая
-ая
стратегия.
2) Огибающая имеет пик
а) Пик имеет ноль или 1. Тогда оптимальная стратегия 1-го игрока чистая, а оптимальными стратегиями 2-го игрока являются те стратегии, которые соответствуют прямые подходящие к пиковой точке с положительным наклоном.
б)
Пик лежит между 0 и 1. Пик имеет абсциссу
не равную 0 или 1, если второй игрок
откажется от всех остальных стратегий,
кроме стратегий с номером
и
,
то решение игры останется прежним. При
этом мы можем воспользоваться результатами
игры 2
2
,
.
Аналогично
рассматривается графическое решение
игры m2.
Только при этом строится верхняя
огибающая
х ищется
ее точка min.
7. Упрощение игр
Если
игра mn
не имеет седловой точки, то ее решение
при больших m
n
может быть весьма затруднительным.
Иногда удается упростить матрицу.
Опр1.
Строка k
доминирует
строку l
платежной
матрицы С,
если
и
.
В данном случае доминирующая строка не входит в оптимальную, поэтому строку l можно вычеркнуть из платежной матрицы.
Опр2.
Столбец k
доминирует
столбец l
платежной
матрицы С,
если
и
.
Доминируемые столбцы можно вычеркнуть из платежной матрицы.
Опр3.
Строка k
матрицы
С
дублирует строку l
, если
,
Аналогично определяются дублирующие столбцы. Если в матрице есть дублирующие строки или столбцы, можно по одной из них вычеркнуть.
Иногда удается упростить матрицу путем замены чистых стратегий искусственными смешенными стратегиями.
Пример.
В
силу симметричности столбцов
и
соответствие
чистых стратегий игрока В
заключаем, что если они входят в
оптимальную смешанную стратегию, то их
вероятности равны.
Заменим
указанные пары чистых стратегий
смешанными для которых платежи равны
среднему арифметическому платежей
заменяемых стратегией.
Если
искусственная смешенная стратегия
вошла в оптимальную смешенную стратегию
с вероятностью
,
то вероятности
Алгоритм
решения матричной игры m
n.
Пусть
задана матричная игра mn
с платёжной матрицей
С.
Тогда игру можно решить следующим
образом:
1)
вычисляем верхнюю и нижнюю цену игры,
т. е. находим
и
.
Если
=
,
то игра имеет
решение в чистых стратегиях, следовательно,
существует седловая точка
— седловая точка, а решение игры есть
тройка
,где
.
2)
если
,
то переходим к поиску решения смешанных
стратегий, производим возможные упрощения
матрицы.
3)
если в платёжной матрице есть отрицательные
элементы, то увеличиваем все её элементы
до получения положительных, т. е.
при этом
такая, что
.
4)
для игры
с платёжной матрицей
сроим пару двойственных ЗЛП.
5)
составленные задачи решаем любым
способом, находим
,
,
.
Находим
=
.
6)
решение
исходной задачи получаем из соотношений
,
,
;
,
.
7)
если на втором шаге было выполнено
упрощение платёжной матрицы, то
вероятности доминируемых стратегий
равно 0, вероятности дублируемых стратегий
k
и l
находятся из соотношения
Если
есть вероятность искусственно смешанной
стратегии (k,l),
то
.