![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1.1.Понятие функции многих переменных
- •1.2.Пределы и непрерывность ф-ций двух переменных
- •1.3.Частные производные первого и второго порядка
- •1.5.Экстремум функции двух переменных
- •1.6.(**)Метод наименьших квадратов. Выравнивание эмпирических данных по прямой
- •2.1.Неопределенный интеграл, первообразная и их св-ва.
- •2.4.Интегрирование путем замены переменной(подстановкой)
- •3.7.Определенный интеграл в экономических и физических задачах
- •2)Определение средних значений
- •Издержек производства.
- •3.4Формула Ньютона-Лейбница (вывод)
- •3.5.Интегрирование по частям и замена переменной в определенном интеграле
- •4.1.Дифференциальное уравнение(ду)
- •4.2.Ду 1го порядка
- •5.1.Числовой ряд и его сходимость.
- •6.2.Теорема Абеля.
- •6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
- •6.4.Свойства степенных рядов .
- •6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.
- •6.6.Разложение некоторых елементарных ф-ций в степенные ряды
- •6.7.Применение рядов в приближенных вычислениях.Оценка точности вычислений
6.3.Интервал, радиус и область сходимости степенного ряда.
Из теоремы Абеля следует, что для любого степенного ряда найдется такое неотрицательное число , R называемое радиусом сходимости, что при всех
x, | x |< R , ряд сходится, а при всех x, | x |> R , ряд расходится.
Интервал (-R;R) называется интервалом сходимости степенного ряда .
Заметим, что для x €(-R;R) ряд сходится абсолютно, а в точках x= ± R степенной ряд может сходиться или расходиться.
Как найти радиус сходимости R? Для этого можно воспользоваться, например,
признаками Даламбера или Коши.
Теорема.
Если существует
|
an+1/
an|=L,
то R=1/L=
|
an/
an+1|
Док-во.
Рассмотрим ряд
anxn
. Применим к нему признак Даламбера.
|
an+1xn+1/
anxn|=
|
an+1/
an|∙|
x | =L∙| x |
Отсюда следует, что если L∙| x |<1, т,е. если | x |<1/L , то ряд сходится абсолютно. Если L∙| x |>1, то ряд расходится. Теорема доказана.
Заметим, что если L=0, для любого | x | то R=∞ .
Если L=∞, для любого x≠0 , то R=0 . Если R=0 , то ряд сходится в единственной точке x0=0; если R=∞, то ряд сходится на всей числовой прямой.
Итак,
интервал сходимости ряда
anxn
есть (-R;R)
. Для нахождения области сходимости
ряда надо отдельно исследовать
сходимость в точках x=R
и x=-R;
в зависимости от результатов этого
исследования областью сходимости
ряда может
быть один из промежутков: [-R;R],(-R;R),[-R;R),(-R;R]
6.4.Свойства степенных рядов .
Пусть
функция S(x)
есть сумма степенного ряд S(x)=
anxn
,x
€(-R;R)
.
Какие свойства функции S(x)?
Теорема. Функция S(x) является дифференцируемой на интервале сходимости x €(-R;R) . Причем ее производная S’(x) может быть найдена почленным дифференцированием членов ряда .
S’(x) = (a0 + a1x + a2x2+…+ anxn +…)’= a1 + a2x+…+ anxn-1 +…
при этом радиус сходимости полученного ряда равен R.Кроме того, степенной ряд можно почленно интегрировать.
Замечание. 1) При дифференцировании интервал сходимости (-R;R) остается неизменным. Однако ситуация в точках x= ±R может не совпадать с ситуацией, которая имеет место в исходном степенном ряде.
2) Степенной ряд можно дифференцировать бесконечное число раз.
3) На произвольные функциональные ряды данная теорема без специальных предположений не распространяется.
6.5.Ряды Тейлора и Маклорена.
Пусть задана f(x) в окрестности точки x= x0
Предположим, что f(x) разлагается в ряд по степеням (x- x0): т.е. ряд имеет вид
f(x)= a0 + a1( x - x0)+ a2( x - x0)2+…+ an( x - x0)n +…
с радиусом сходимости R ,(| x - x0 |<R)
Этот ряд на интервале сходимости | x - x0 |<R можно дифференцировать бесконечно число раз:
f n(x)=n∙(n-1)∙ …∙ an+(n+1) ∙n∙…∙3∙2an+1∙( x - x0) +…
Положим в каждом равенстве x= x0 . Тогда последовательно получаем коэффициенты Тейлора:
a0=f(x0), a1=(f ’(x0))/1!, a2=(f ’’(x0))/2!,… an=( f n (x0))/n!
Итак, если функция f(x) разлагается в ряд по степеням ( x - x0), то этот ряд имеет вид :
f(x)=
f(x0)+
f ’(x0)
( x - x0)+
(f ’(x0)
(
x
- x0)2)/2!+…+
=( f
n
(x0)
(
x
- x0)n)/n!
+…=
(
f
n
(x0)
(
x
- x0)n)/n!
Определение. Степенной ряд такого вида называется рядом Тейлора функции f(x) в точке x0 . Если x0 = 0 , то такой ряд называется рядом Маклорена.
Теорема. (дост. условие разложения в ряд Тейлора).
Если функция f(x) и ее производные любого порядка ограничены в окрестности точки x0: (| x - x0 |<R) одним и тем же числом M, то ее ряд Тейлора сходится к самой f(x ) для любого x из этой окрестности | x - x0 |<R . Если функция f(x) разложима в ряд Тейлора, то это разложение единственно.
Остаточный член ряда Тейлора.
Обозначим Tn (x) сумму первых членов ряда Тейлора:
Tn (x) = f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+…+ =( f n (x0) ( x - x0)n)/n!
Остаточным членом ряда Тейлора называют разность:
Rn (x) = f(x)+ Tn (x)
Таким образом, имеет место формула Тейлора:
f(x)= f(x0)+ f ’(x0) ( x - x0)+…+ =( f n (x0) ( x - x0)n)/n!+ Rn (x)
Важно знать, как устроен остаток Rn (x)
Теорема. Если функция f(x) имеет производную (n+1)-го порядка f (n+1)(x) в окрестности точки x0 , то остаточный член имеет вид:
Rn (x) = ( x - x0)n+1)/(n+1)!∙ f (n+1)(ξ), где ξ -некоторая точка, лежащая между x и x0 .
Само по себе выражение для Rn (x) не дает возможности вычислять его величину, так как неизвестна точка ξ , в которой f (n+1)(x) вычисляется .