4.1.Дифференциальное уравнение(ду)

Осн.понятия

О1. ДУ – ур-е, содержащее неизвестную ф-цию, независимую переменную и ее производные различных порядков.

Если неизвестная ф-ция зависит от одной независим переменной, то ДУ – обыкновенное ДУ (ОДУ).

Если неизвестн ф-ция содержит 2 и > независ переменных, то ДУ назыв ур-е частичных производных.

В общем виде ОДУ можно записать F(x,y,y’, … , y⁽ⁿ⁾)=0 (1) неявный

y⁽ⁿ⁾ =f(x,y,y’,…,y^(n-1)) (2)явный

Порядок старшей производной, входящей в ур-е назыв порядком ур-я.

О2. ф-ция у=у(х) назыв решением ДУ (1) или (2) если, будучи подставленным в соответствующ ур-е вместе со всеми своими производными, она обращает его в верное равенство. Задача нахождения решения ДУ назыв задачей интегрирования ДУ.

О3. Общим решением ДУ (1), (2) n-го порядка назыв ф-ция вида y=(x,c₁,c₂,…,c_n), которая зависит от переменной х и n произвольных постоянных

О4. Частичным реш ДУ наз реш, полученное из общего при некоторых конкретных числовых значениях постоянных c₁,c₂,…,c_n

Демографическая модель

Из статистики известно, что для конкретного региона число рожд и умерш за единицу времени пропорционально численности населения с коэф. пропорциональности k₁,k₂. Найти закон измен численности населения с течением времени, т.е. опис матем демограф процесс.

Реш. Пусть y=y(t) –число жителей региона в момент времени t.

∆у – прирост населения за время ∆t

где k=k₁-k₂

Разделим на ∆t

,

y’=ky, где k=k1-k2 y=ce^kx

4.2.Ду 1го порядка

_{y’=f(x,y) (1) F(x,y,y’)=0 (2)}

_{1) y’=f(x) dy/dx=f(x)}

_{dy=f(x)dx dy=f(x)dx y=f(x)dx}

_{2) y’=f(y) dy/dx=f(y)}

_{3) f(x)dx=f(y)dy ДУ с разделенными переменными f(x)dx=f(y)dy}

_{4)y’=f(x)gy или M(x)N(y)d(x)=K(x)L(y)d(y)}

_{ДУ с разделяющимися переменными}

_{Ур-е вида (4) реш по схеме:}

_{d(y)/d(x)=f(x)gy}

_{d(y)/g(x)=f(x)d(x)}

_{M(x)d(x)/K(x)=L(y)d(y)/N(y)}

_{5) y’=g(y/x) однородное ДУ 1го порядка (ф-ция вида f(αx,αy)=αkg(x,y)}

назыв однородн ф-ция k-того порядка,αЄR)

реш с помощью подстановки

_z=y/x y=zx y’=z’_xx+z

_{z’x+z=g(z) d(z)/(g(z)-z)=d(x)/x}

_{6) y’=f(ax+by) приводится к ур-ю вида (4) путем замены z=ax+by}

_{Теорема (Коши-Пикара).} Пусть задано диффе­ренциальное уравнение вида y’=f(х,у), где f(x,y) — функция, заданная в области D, и в D заданы начальные условия M₀ (x_0,y₀)ЄD. В силу открытости области D можно указать числа а и b (а>0;-b>0) и для них замкнутую область : |х - x₀|≤ а, |у- у₀|≤b, такую, чтоD. Пусть в области функция z=f(x,y):

1)непрерывна, а значит, и ограничена, т.е. |f-(x, y)|≤H;

2)имеет частную производную по y для любой точки

М(х, у) и эта частная производная также огра­ничена в . Тогда существует решение задачи Коши для начальных условий М₀(х₀, у₀): y=(x), y₀ = (x₀), это решение единственное, причем функция у=(х), оста­ваясь решением уравнения y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y’,…,y^(n-1)) , задана, по крайней мере, на отрезке |х-x₀|≤h, где h=min(а, b/Н) и |(x)-y₀|≤b.

Доказательство этой теоремы не приводим.

Замечание. Поскольку решение у = (х) задано для |х - х₀| ≤h, т.е. –h+x₀≤x≤h+x₀, то если взять произвольную точку х₁ такую, что -h+x₀<x₁< h+x₀, и вычислить y₁ = (x₁), начальным условиям M₁(x₁,y₁) будет соответствовать то же решение у = (х); измениться в этом случае может лишь h в неравенстве |х — х₁|≤ h.

Общее решение. Пусть в DR² задано дифферен­циальное уравнение y’=f(х,у) и в любом D выполня­ются условия теоремы Коши — Пикара. Тогда однопараметрическое семейство функций

у = (х, С),непрерывно дифференцируемых по х и непрерывных по С в некоторой области Г(х, С), называется общим реше­нием уравнения в области D, если: 1) у =(х, С) явля­ется решением уравнения y’=f(х,у) для всех фиксированных С из некоторой области GR (на множествах X _с, таких, что для любых х  X _с и у =(х) (х, у)  D); 2) для любых начальных условий М₀(х₀, y₀)  D существует такое С₀  G, что y₀=(х₀, С₀), т. е. уравнение y’=f(х,у) дает реше­ние задачи Коши.

4.3.1.ДУ с разделяющимися переменными – уравнения вида:

1. M(x)N(y) dx+K(x)L(y)dy=0

2. y`=f(x)g(y)

Решаются по схеме:

1. Делим на N(y)K(x):

M(x)/K(x)dx+L(y)/N(y)dy=0 и интегрируем обе части( в правой части вместо 0 будет С)

2. dy/dx=f(x)g(y). Обе части * на dx и / на g(y), получим:

dy/g(y)=f(x)dx и интегрируем обе части.

4.3.2.Однородные функции и однородные ДУ.

Функция f( )= *g(x,y) наз. Однородной функцией k-того порядка, R.

ДУ вида y`= f(x.y) наз. Однородным, если z=f(x,y) – однородная функйия нулевой степени, т.е. для любых t f(tx,ty)=f(x,y).Аналогично ДУ

P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 наз. Однородным, если P(x,y) и Q(x,y) – однородные функции одной степени.

4.3.3.Линейные ДУ 1 порядка.

Общий вид линейного ДУ 1 порядка:

y`+p(x)y=q(x)

1).если q(x),то y`+p(x)y=0 – однор. лин. ДУ 1 порядка

2)если q(x)0, то ДУ – неоднородное линейное ДУ

Решение 2):

Y=uv, u=u(x), v=v(x); y`=u`v+uv`

U`v+uv`+ p(x)uv=q(x); u`v+u(v`+ p(x)v)=q(x);

_{dv/dx=-p(x)v,решаем и получим: v=}

_{подставим v в u`v=q(x) получим u=}

_{отсюда общее решение :}

_y=uv=()*

4.4.ДУ 2 порядка, допускающие понижение порядка

1.y``=f(x), y`=p,где p=p(x); y``=p`;

p`=f(x); dp/dx=f(x) отсюда p= ; y`=; dy/dx=; dy=)dx интегрируем,:

2. y``=f(x,y`), y`=p; p=p(x); y``=p`

p`=f(x,p(x)); интегрируем, p=

подставляем y`, все аналогично отсюда ответ:

y=

3. y``=f(y,y`), y`=p; p=p(y) – сложная ф-я y

y``=p`y`=p`p; p`p=f(y,p) или (dp/dy)*p(y)=f(y,p(y)).

P=

P заменяем на y` получим

x=

4.5. Комплексные числа, их геометрическая интерпретация, осн.св-ва.

=-1

x1,x2 = ; =I – мнимая единица

=-1

z=a+bi; a,b , R- мнимая единица – комплексное число

a – действительная часть компл.числа, b- мнимая часть z

- a-bi – сопряженное z

z*=

Комплексные числа – вся плоскость, кроме оси ОХ

z=a+bi

4.6.Линейные однородные ДУ 2 порядка с постоянными коэфф-ми. Их нахождение.

Обыкновенные ДУ 2 порядка с пост.коэфф. имеет вид:

(1) y``+py`+qy=r(x) p,q принадл. R, r(x) – функция

Если r(x) =0, то

(2) y``+ py`+qy=0 – однор.лин.ДУ 2 порядка с пост.коэфф.

Ур-е вида (3) +px+q=0 – характеристич.уравнение (1) и(2)

Стр-ра общего решения ур.(2) определяется корнями квадр.ур-я. (3)

Возможны 3 случая

1. кв.ур-е имеет разные корни α1α2, D>0 тогда общее решение:

y=C1 C1, C2 прин.R

2. корни кв.ур. кратные, т.е. α1= α2=α ; D=0

y= C1, C2 прин.R

3. корни комплексно сопряженные : λ1= α-βi; λ2= α+βi;

y= C1 C1, C2 прин.R

Нахождение решений линейных неоднородных ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами для специального вида правой части.

Рассмотрим уравнение y´´+py´+qy=r(x) /где p,q € R , r(x)-функция.

которое имеет вид y=yO+yЧ, где

yO-общее решение уравнения y´´+py´+qy =0

yЧ-частное решение уравнения y´´+py´+qy=r(x) , которое зависит

от вида правой части,т.е r(x)

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1) r(x)=Pn(x) ,где Pn(x) – многочлен степени «n»

В этом случае решение yЧ ищут из уравнения к²+pк+q=0 в виде:

• yЧ=Qn(x) при q≠0

• yЧ=x Qn(x) q=0, p≠0

• yЧ=x² Qn(x) q=p=0

2) r(x)=а где а,м € R , а,м =соnst

Вид частного решения следущее:

• yЧ=А если «м» не является корнем уравнения к²+pк+q=0

(корни некратные,некомплексные)

• yЧ=Аx если «м» – простой корень уравнения к²+pк+q=0

• yЧ=x² если «м»-кратный корень уравнения к²+pк+q=0

3) r(x)=acosmx+bsinmx где a,b,m=const

• yЧ= Acosmx+Bsinmx при условии что p²+(q-m²)≠0

• yЧ= x(Acosmx+Bsinmx) если p=0,q= m²