Итерационные методы решений линейной системы

X1⁽⁰⁾⁼xl⁽⁰⁾ =…=xn⁽⁰⁾ =0

Возьмем нулевое приближение в качестве начального, подставим его в 1 уравнение и вычистим x1 первого приближения.

Найденное текущее приближение является ? с точностью эбселент. Если для одного х не выполнился критерий, продолжаем итерационный процесс.

Рассмотрим систему из n уравнений с m неизвестными, диагональные подвергаются проверки на не 0 или на 0 с помощью алгоритма поиска ненулевого элемента, тогда к решение приближения будет задаваться формулой.

Итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока xi^(k) не станут достаточно близки к xi^(k-1). Достаточно близки определяется либо абсолютным, либо относительным критериям.

Max.. – абсолютный

Max - относительный критерий

При выполнении 1 или 2 итерационный процесс называется сходящимся. Метод гаусса может разойтись.

Достаточное условие сходимости метода.

1. Для с хит процесса достаточно |aii|>= sum |aij|        i=1 to n

2. Система линейных уравнений должна быть не приводима (та которую можно решить меньшим числом уравнений с меньшим числом неизвестных).

Хотя бы в 0 уравнении должно быть строго больше >.

W

Блок схема метода Гаусса-Зейделя

Численное дифференцирование

Аппроксимация(приближенное значение) производных.

Метод конечных разностей предполагает, что бесконечное малое дельта у и дельта х являются конечные.

?.

Y’=∆y/ ∆х

Это называется аппроксимацией производных относительно дельта у и дельта х.

Пусть шаг постоянный

Вторые производные вычисляются на основании первых.

Погрешность численного дифференцирования

В качестве f(x) можно принять частичную или итерационную функцию.

В качестве приближенного значения производной порядка к φ(х).

Величина R характеризует отклонение приближенного значения производной от ее истинного значения и называется погрешностью аппроксимации производной.

R^(k)(x)=f^(k)(x)-φ^(k)(x)

При исследовании дифференцируемой функции задается в виде таблицы с h эта погрешность зависит от h и обозначается O(h^k). Показатель к названным порядкам погрешности аппроксимирующей производной ({xi,y}, h=xi-xi+ ?)

Иллюстрация погрешности с помощью ряда Тейлора.

Запишем ряд при х=х1 , ∆х=-h с точностью до членов порядка h (k=2)

Формула совпадает с производной левых разностей. Имеем оценку формулы, точность порядка h

Погрешность возникаем при использовании дифференцирования определяя не точными значениями в узлах и погрешности округления на нем. Существует процедура регуляции для оптимизации точности. Простейшим способом регуляризации мб выбор шага h при котором справедливо неравенство |f(x+h)-f(x)|>ε

Гарантирует исключение вычитания близких чисел в вычислении.

Другой способ сглаживания функции подбором некоторой гладкой аппроксимации функции.

Метод неопределенных коэффициентов.

Искомое выражение для производной к порядка в точках x=x1ю Представляем в виде линейной комбинации заданных значений функций в узлах

Yi^(k)=C₀*y₀+C₁*y₁+…+C_ny_n (*)

Предположим, что формула (*) имеет место для многочленов y=1, y=x-xi, y=(x-x1)²… y=(x-xi)ⁿ

Подставим последние многочлены в (*) получим n+1 линейное алгебраическое уравнение для определения C0,C1,Cn

Пример. Найти выражение для производной в случае 4 равноотст. узлов n=3