Вычисление многочленов по схеме Горнера

P(x)=a₀+a₁x+a₂x²+..+a_nxⁿ= n²+n/2 - умножений n - сложений

=a₀+x(a₁+x(a₂+x(a₃…x(a_n-1+x*a_n)_n-1)

P(x)=3+4x-5x²+10x³-x⁴+3x⁵=3+x(4+x(-5+x(10+x(-1+3x)))

Недостающие степени в записи многочлена нужно дописывать с коэффициентом 0

3+4x-5x²+0x³-x⁴+3x⁵=3+x(4+x(-5+x(0+x(-1+3x)))

Начало

Нужно организовать инерционный цикл изнутри.

Ввод {a_i}_1÷N,N,X

P=a_n, i=n-1

a0=x

P=a_i+xP

a0=x

i=0

i=i-1 a0=x

-

Вывод P

Конец

+

В этом методе требуется n умножения и n сложений.

Интерполяция Линейная и квадратичная интерполяция в явном виде.

Простейший вид – линейная, состоит в том, что заданные точки х_i y_i соединяется прямолинейно отрезками, и функция f(x) приближенно заменяется ломанной в заданных точках.

{x_i,y_i}

I=0 to n

Для _i – интервала заменяет уравнение прямой проходящей через 2 точки (x_i-1, x_i)

(y-y_i-1)(x_i-x_i-1)=(x-x_i-1)(y-y_i-1)

k

b

(*)

{x_i}_Ni,{y_i}_N,z

При использовании линии интерполяции сначала необходимо определить интервал, который попадает в аргумент х и подставлять его в формулу (*) и найти приближенное значение функции в этой точке.

i=0

a0=x

i=i+11

a0=x

z>x_i

k= b= y=kz+b

+ -

Вывод функции

Конец

Рассмотрим квадратичную (параболическую) интерполяцию.

[xi-1,yi-1] применяется квадратичный многочлен y=ax²+bx+c xi-1<=z<=yi-1

Yi-1=ax²i-1+bxi-1+c yi=ax²i+bxi+c yi+1= ax²i+1+bxi+1+c

Есть способ широко распространять для интерполяции метод кубических сплайн функций. Это специальным образом построенный многочлен 3-й степени.

Неявная интерполяция

Многочлен Лагранжа.

Рассмотрим случай глобальной интерполяции, т.е. построение многочлена единого для всего отрезка [x0,xn] при этом график интерполяции многочлена должен проходить через все узлы.

φ=a₀+a_1x+..+a_nxⁿ

Если говорить об неявной интерполяции, то можно найти aj из равенства в узлах функции yi=φ(xi) i=0,1…n

Система имеет единственное решение. Будем искать многочлен в неявном виде в виде линейной комбинации многочленов ni(x)ⁿ…li(x)

Линейная комбинация – сумма произведений

L(x)=y₀l₀(x)+y₁l₁(x)+y₂l₂(x)+…+y_nl_n(x)

При этом потребуем, чтобы каждый многочлен обращался во всех узлах, кроме узла, где он должен быть равен 1.

(*)

В общем виде многочлен по Лагранжу вместо 0→x-1, 1→i

Для трех точек:

i-1

i

i+1

x	0	2	4	6	8
y

Для квадратичное интерполяции при выборе 3й точки нужно осуществлять коррекцию индексов при попадании в крайние отрезки.

i=i+11

a0=x

z>xi

+

i=n

i=i-1

a0=x

y=…(*)

a0=x

if

Точность интерполяции оценивается остаточным членом интерполяционной формулы R(x)=|f(x)-F(x)| F(x) – построенная функция f(x) – исходная функция

Оценка для многочлена Лагранжа

Путь функция задана в виде таблицы, непрерывна и имеет непрерывные производные до (n+1) включительно. Тогда остаточный член интерполяции формулы Лагранжа имеет следующий вид:

Метод наименьших квадратов. Эмпирические формулы.

Приближенная функция зависимость получения на основе экспериментальных данных называется эмпирической функцией. Нет точного совпадения в узлах, что приведет к сглаживанию ошибок эксперимента. Состоит из 2х этапов:

1. Подбор общего вида этой формулы

2. Определение наилучших значений содержащийся в этой формуле параметров

Общий вид формулы иногда известен из физических соображений. Если характер зависимости не известен, то вид формулы произвольный. Предпочтение отдается наиболее простым формулам. Можно первоначальный вид выбрать из геометрии, нанося точки на координатную плоскость и соединить их какой-нибудь кривой. Дальше записываем общий вид зависимости и сравнивая её графиками известной функцией. Простейшая эмпирическая зависимость это y=kx+b. Близость экспериментального распределения точек ее линейной зависимости можно проверить. , если точки лежат на прямой

Если нет, то насколько отклонение от константы удовлетворяет заказчика. В ряде случаев, к линейной зависимости сводят данные, даже если их график не является прямой линией. Это достигается путем ввода новых переменных вместо х и у.

Надо выбрать φ и φ₁ такими, чтобы точки ξ и ψ лежали на одной прямой. Такое преобразование называется выравниванием данных.

Адекватность квадратичной зависимости проверяется 2 примерами определённых интегралов.

Определение параметров эмпирической погрешности

Считаем, что тип эмпирической формы выбран:

(φ – известная функция, a_i – неизветные параметры) i=0 to n

Задача нахождения числа а_i сводится к минимизации ε_i

1. Метод выбранных точек:

По данным эксперимента на координатной плоскости наносится система точек. Выбирается линия и на ней выбираются точки, число выбранных точек должно быть равно числу искомых параметров. - используются для записи прохождения графика функции φ через выбранную точку.

j=0 to m

2. Метод средних

В нем записывается условие равенства 0 сумма отклонений во всех точкам х_i

Из 1 уравнения нельзя определить m-1 параметр. Это равенство путем группировки разбивает на систему m+1 уравнений. Например

3. Метод наименьших квадратов

aj параметры находится из условия min функции S. В теории вероятность доказывают, что получается такими методами значение параметра наиболее вероятно, если отклонить ε_i подчиняющимся нормам распределения.

ξ – математическое ожидание σ² – дисперсия

Min найдем приравнивая к 0 части производных по параметрам a_j