Задача № 3

Дана платежная матрица:

Задачи, которые необходимо выполнить:

1. Найти верхнее и нижнее значения матричной игры с матрицей выигрыша.

2. Дать рекомендации поведения игроков и указать их выигрыши.

Решение:

A = max_i min_j a_ij = 6 = α;

7 6 min_j max_i a_ij = 6 = β;

В данном случае существует состояние равновесия, есть седловая точка и цена игры v = 6.

2. Так как = 6, = 6,=. То 1-я строка — максиминная стратегия; 2-й столбец — минимаксная стратегия. В этом случае любое отклонение каждого из игроков от этих стратегий (игрока I — от максиминной, игрока II — от минимаксной) не может оказаться выгодным.

Оптимальные стратегии – ;

Задача № 4.

Дана матричная игра:

Найти решение матричной игры в смешанных стратегиях.

Задачи, которые необходимо выполнить:

1. Составить пару двойственных задач.

2. Одну из задач решить геометрически.

3. Значение игры сравнить с верхним и нижним значениями.

Решение:

Найдем седловую точку:

A = max_i min_j a_ij = 1 = α;

9 6 min_j max_i a_ij = 6 = β;

Так как α ≠ β, седловой точки нет и цена игры будет находится в интервале 1 ≤v ≤ 6. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий.

Найдем смешанную стратегию:

Смешанную стратегию игрока "А" будем обозначать:

S(A) =

где A₁, A₂ - стратегии игрока "A", а p₁, p₂ - соответственно вероятности (частоты), с которыми эти стратегии применяются, причем p₁ + p₂ = 1.

Аналогично смешанную стратегию игрока "В" будем обозначать:

S(B) = ;

где B₁, B₂, B₃ - стратегии игрока "B", а q₁, q₂, q₃ - соответственно вероятности, с которыми эти стратегии применяются, причем q₁ + q₂ + q₃ = 1.

Оптимальная смешанная стратегия для игрока "А" та, которая обеспечивает ему максимальный выигрыш. Соответственно для "B" - минимальный проигрыш. Обозначаются эти стратегии SA* и SB* соответственно. Пара оптимальных стратегий образует решение игры.

Решим графическим методом:

Красная ломаная линия определяет так называемую нижнюю границу выигрыша. Выберем на ней точку с максимальной ординатой. Абсцисса этой точки определяет вероятность p2 (частоту), с которой нужно применять стратегию A2 чтобы получить максимальный выигрыш, (вероятность p₁ будет соответственно (1 – p₂)) а ордината цену игры v. То есть, это есть точка нашей оптимальной стратегии.

Кроме того из рисунка видны активные стратегии игрока "В". Это как раз те стратегии, пересечением которых образуется оптимальная точка. В нашей задаче, это стратегии B1 и B2. Определив две активные стратегии игрока "B" мы свели исходную задачу к задаче размерностью 2 x 2, в которой оставлены только активные стратеги игроков.

	Стратегии В
Стратегии А	В1	В2
А1	9	3
А2	1	6

Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока А:

S(A^*) =

Из теории игр известно, что если игрок "А" использует свою оптимальную стратегию, а игрок "B" остается в рамках своих активных стратегий, то средний выигрыш остается неизменным и равным цене игры v независимо от того как игрок "В" использует свои активные стратегии.

Если предположить, что игрок "В" будет пользоваться чистой стратегией B1, то средний выигрыш v составит:

k ₁₁p₁ + k ₂₁p₂ = v ;

Если предположить, что игрок "В" будет пользоваться чистой стратегией B2, то средний выигрыш составит:

k ₁₂p₁ + k ₂₂p₂ = v ;

Найдем p_1,, p₂:

k ₁₁p₁ + k ₂₁p₂ = k ₁₂p₁ + k ₂₂p₂;

Т. к. p₁ + p₂ = 1, тогда

k ₁₁p₁ + k ₂₁(1 - p₁)= k ₁₂p₁ + k ₂₂ (1 - p₁);

p₁ = ;

p₁ = = ; p₂= 1 – p₁ = ;

v = 9 * + 1 *=;

Найдем оптимальную смешанную стратегию для игрока B :

S^*(B) =

где: q₁ , q₂ - вероятности (частоты) с которыми применяются соответственно стратегии B₁ и B₂.

Если игрок "B" использует свою оптимальную стратегию, а игрок "A" остается в рамках своих активных стратегий, то средний выигрыш остается неизменным и равным цене игры v независимо от того как игрок "А" использует свои активные стратегии.

Если предположить, что игрок "A" будет пользоваться чистой стратегией A₁, то средний выигрыш v составит:

k₁₁q₁ + k₁₂q₂ = v ;

Так ка цена игры v = иq₁ + q₂ = 1, оптимальная частота стратегии B₁ равна:

q₁ = ;

q₁ = = ;q₂ = 1 – q₁ = 1 - = ;

Ответ:

1. Нижняя цена игры α = 1;

Верхняя цена игры β = 6;

2. Цена игры v = ;

3. Оптимальная стратегия игрока A : S^*(A) =

Т. е можно сказать, что в 54 % случаев выбирается стратегия А₂.

4. Оптимальная стратегия игрока В : S^*(B) =

Т. е можно сказать, что в 72,7 % случаев выбирается стратегия B₂.