Задача № 2.

Фермер может засеять свое поле четырьмя сортами пшеницы. Затраты на все семена, а также на обработку почвы одинаковы. Год может быть засушливым, нормальным и дождливым. Известны урожайности культур в зависимости от погоды и цена центнера для каждого сорта.

Погода	Урожайность пшеницы в центнерах
	П - 1	П - 2	П - 3	П - 4
Сухая	27	11	0	12
Нормальная	12	16	7,5	15
Дождливая	13	9	10	10
Цена (у. е./ц)	9	11	13	11

Задачи, которые необходимо выполнить:

Задача на составление матричной игры.

Составить матрицу выигрышей фермера и определить его оптимальную стратегию.

Решение:

Построим платежную матрицу (умножая урожайность культур на их цены, получаем прибыль):

	Сухая	Нормальная	Дождливая
П-1	243	108	117
П-2	121	176	99
П-3	0	97,5	130
П-4	132	165	110

Полученную таблицу можно рассматривать как матрицу, задающую матричную игру фермера (игрок 1) против природы (игрок 2).

max_i min_j a_ij = 110; α = 110;

243 165 min_j max_i = 130; β = 130;

Так как α β, седловой точки нет и цена игры будет находится в интервале

110 130. Оптимальное решение следует искать в области смешанных стратегий.

Если платежная матрица не имеет седловой точки, т.е. a < b и, α βто решение игры представлено в смешанных стратегиях (x ₁ , x ₂ ,..., x_m ) и (y ₁ , y ₂ ,..., y_n ).

Поскольку α(A) = 1 > 0, то матрицу A не нужно модифицировать.

Для определения оптимальной стратегии игрока А имеем следующую задачу линейного программирования:

L(X) = x₁ + x₂ + x₃ max

X1, x2, x3

Решим полученную задачу с помощью функции «Поиск решения» в М. Excel.

Результаты вычисления можно увидеть на рисунке № 1.

Рис. № 1

После приведения в действие процедуры «Поиск решения», был получен оптимальный план.

x₁ = 0,00029; x₂ 0,00139; x₃ 0,0066;L_max = 0,008336

Цена игры: v = ;v = = 125

Для нахождения оптимальной стратегии игрока В имеем следующую ЗЛП (двойственную к целевой функции):

Z(S) = s₁ + s₂ + s₃ + s₄ min

Решим ее с помощью симплекс – метода:

Базис	B	s1	s2	s3	s4	s5	s6	s7
s5	-1	-243	-121	0	-132	1	0	0
s6	-1	-108	-176	-97,5	-165	0	1	0
s7	-1	-117	-99	-130	-110		0	1
Z(x0)	0	1	1	1	1	0	0	0

После приведения плана к оптимальному, мы получаем:

Минимальные значения: s₁ 0,00285:s₂ = 0; s₃ 0,00316;s₄ 0,00233;

F(S) = 1*0,00285 + 1*0 + 1*0,00316 + 1*0,00233 = 0,00834

Находим оптимальное значение нашей игры:

p₁ = s₁*v = 0,00285*125 = 0,375; p₂ = s₂*v = 0*125 = 0;

p₃ = s₃*v = 0,00233*125 = 0,375; p₄ = s₄*v = 0,008336*125 = 0,25;

p₁, p₂, p₃, p₄ - - соответственно вероятности (частоты), с которыми стратегии применяются, причем p₁ + p₂ + p₃ + p₄ = 1.

Результат можно записать следующим образом:

Оптимальная стратегия фермера состоит в том чтобы:

1. Культурой П-1 засеять 37,5% поля

2. Культурой П -3 засеять 37,5 % поля

3. Культурой П - 4 засеять 25% поля

4. Культуру П-2 не рекомендуется сеять.

При этом, при любой погоде доход фермера не будет меньшим цены v = 125 данной игры.