9) Необходимые и достаточные условия экстремума функции двух переменных

Определение точки экстремума функций двух переменных:

Говорят, что функция имеет в максимум (минимум) если существует такая окрестность точки , что для любойиз неё выполняется неравенство

Необходимое условие существования:

Пусть функция имеет вэкстремум. Тогдаилибо равны 0, либо равны, либо не существуют.

Замечание:

Если - дифференцируемая в, то.

Достаточное условие существования:

Пусть – стационарная точка, дважды непрерывно дифференцируемой функции. Если число, то вфункция имеет экстремум.

10)Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла

Функция F(x) называется первообразной по отношению к функции f(x), если F(x) дифференцируема и выполняется условие F^`(x)= f(x).

Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции. Неопределенный интеграл обозначается и равен.

11)Свойства неопределенного интеграла

1. ()^` = ,что следует из определения

2. 

3. подтверждается путем равенства производных от левой и правой части

4. 

5. Если – дифференцируемая функция, то

12) Метод замены в неопределенном интеграле

Суть данного метода заключается в том, что в рассмотрение вводится новая переменная интегрирования или, что тоже самое, делается подстановка. После этого заданный в условии интеграл сводится либо к табличному интегралу, либо к нему сводящемуся.

Если в неопределенном интеграле сделать подстановку, где функция- функция с непрерывной первой производной, то тогдаи согласносвойству 6 неопределенного интеграла имеем, что: Эта формула называетсяформулой замены переменной в неопределенном интеграле.

13)Интегрирование по частям в неопределенном интеграле

Метод вычисления интегралов, называемый интегрированием по частям, основан на правиле дифференцирования произведения.

Пусть — функции, дифференцируемые на некотором промежутке. Тогда, как известно, дифференциал произведения этих функций вычисляется по формуле

Взяв неопределенный интеграл от обеих частей этого равенства, получим:

Так как , а,

то получаем: , откуда.

Поскольку уже содержит произвольную постоянную, в правой части полученного равенстваможно опустить и записать равенство в виде

(1)

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям.

14)Методы вычисления неопределенных интегралов

1. Интегрирование путем подведения под знак дифференциала (стр.278)

2. Интегрирование методом подстановки (стр.279)

3. Интегрирование по частям (стр.280)

4. Интегрирование рациональной функции (стр.281)

15) Понятие определенного интеграла

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции.

Пусть определена на. Разобьёмна части с несколькими произвольными точками.

Тогда говорят, что произведено разбиение отрезкаДалее выберем произвольную точку,,

Определённым интегралом от функции на отрезкеназывается предел интегральных сумм при стремлении ранга

разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиенияи выбора точек, то есть

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой напо Риману.