- •1 Комплексная плоскость
- •1.1 Комплексные числа
- •Задачи
- •1.2 Области, пути и кривые,
- •2 Функции комплексного переменного
- •2.1 Понятие функции
- •2.2 Предел функции
- •2.3 Непрерывность
- •2.4 Линейные функции
- •2.5 Дифференцируемость
- •2.6 Геометрическая интерпретация производной
- •3 Стереографическая проекция
- •3.1 Стереографическая проекция и бесконечность
- •3.2 Свойства стереографической проекции
- •3.2.1 Сохранение углов
- •3.2.2 Круговое свойство
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
||
|
1. |
Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
(а) |
(−2−5 i)+ (1−2 i) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
(б) |
2(cos 4 + isin |
4 )+ 2(cos7 4 + i sin7 |
4 ) |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(в) |
2+ 3 i+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
(2+ 3 i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
−2+ 3 i−(−2+ 3 i) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(а) |
(−2−5 i)+ (1−2 i)=(−2+ 1)+ (−5−2)i=−1−7 i |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
1 |
|
|
|
|
π |
|
π |
|
π |
|
π |
|
π |
|
π |
|||||||||
|
cos 7 |
4 |
=cos |
4 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
; sin 7 4 |
=−sin |
4 |
2 (cos |
4 |
+ i sin |
4 )+ 2 |
(cos 7 |
4 |
+ isin 7 |
4 )= |
|||||||||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(б) |
2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= |
2 |
|
|
|
+ |
2 |
|
|
|
|
= 2 √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
√2 |
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2+ 3 i+ |
(2+ 3 i |
)=2+ 3 i+ (2−3 i)=4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
(г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
)=−2+ 3 i−(−2−3i)=6 i . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
−2+ 3 i−(−2+ 3 i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
О т в е т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(а) |
−1−7 i |
; (б) |
|
|
2 √ |
|
; (в) 4; (г) 6 i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. |
Найти следующие значения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(а) |
i3 |
; (б) |
|
|
|
i−1 |
; (в) |
i13 |
; (г) |
i−15 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(а) i3=i i2=i (−1)=−i ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
(б) |
i−1 = |
|
i |
= |
i |
|
|
=−i ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i |
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
(в) |
i13=i i12=i (i4)3 =i 13=i |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
(г) |
i−15 = |
1 |
= |
|
|
i |
=i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
15 |
i |
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
О т в е т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(а) |
−i |
; (б) |
|
|
|
−i |
|
|
; (в) |
i ; (г) |
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.Вычислить:
(а) (−2−5 i) (1−2 i) |
; |
|
|
|
|||
(б) 2(cos |
π |
|
π |
(cos7 |
π |
|
π |
4 |
+ isin |
4 ) 3 |
4 |
+ i sin7 |
4 ) ; |
18
(в) |
−2−5 i |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1−2i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2(cos3 |
π |
+ isin 3 |
π) |
||||||||
|
4 |
|||||||||||
(г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
. |
||
|
1 |
|
+ i |
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
√2 |
√2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
Р е ш е н и е.
(а) |
(−2−5 i) (1−2 i)=−2−10+ (−5+ 4 )i=−12−i |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2(cos |
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
π |
|
|
π |
|
π |
|
π |
|
π |
|
||||
(б) |
4 |
+ isin 4 ) 3(cos7 4 |
+ i sin7 |
4 )=2 3(cos ( |
7 |
4 |
+ |
4 )+ isin (7 |
4 |
+ |
4 ))=6 (1+ i 0)=6 ; |
|||||||||||||||||
(в) |
−2−5 i |
= |
(−2−5 i) (1+ 2 i)=−2+ 10−5i−4 i = |
8 |
− 9 i |
; |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1−2i |
|
|
|
(1−2 i)(1+ 2i) |
|
|
5 |
|
5 5 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2(cos 3 |
π |
+ isin 3 π ) cos 3 |
π + isin 3 π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
π |
|
π |
|
π |
|
π |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
||||||
(г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=2 |
|
|
=2(cos (3 |
4 |
− |
4 )+ isin |
(3 |
4 |
− |
4 ))=2(0+ i)=2i . |
||||
|
|
1 |
|
+ i |
1 |
|
|
|
cos |
π + isin π |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
√2 |
√2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
О т в е т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а) |
|
−12−i |
;(б) 6; (в) |
5 |
−5 i |
; (г) |
2i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Вычислить:
(а)−2−5 i ;
|
π |
π |
|
|
(б) |
R e (2(cos |
6 + isin |
6 )) |
; |
|
I m(3(cos |
π |
π |
|
(в) |
6 −i sin |
6 )) |
; |
|
(г) |
(−2−5 i)(−2+ 5 i) . |
|
Р е ш е н и е.
(а) −2−5 i =√ |
(−2)2+ (−5)2 |
=√ |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
29 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
π |
π |
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
=√3 |
|
|
||||||||||||||
(б) |
R e (2(cos |
6 + isin |
6 ))=2 cos 6 |
; |
|
|||||||||||||
|
I m(3(cos |
π |
π |
|
|
|
π |
|
|
|
3 |
|
||||||
(в) |
6 −i sin |
6 ))=−3 sin |
6 |
=− |
2 |
; |
||||||||||||
(г) |
|
|
|
|
|
)=(−2)2+ (−3)2 =13 . |
||||||||||||
(−2−3 i)(−2+ 3 i)=(−2−3i)(−2−3 i |
||||||||||||||||||
О т в е т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а) |
−2−5 i =√ |
|
; (б) √ |
|
; (в) |
−3 |
; (г) 13. |
|||||||||||
29 |
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
19
5. Решить уравнения: |
|
|
(а) |
5 x2 + x+ 2=0 ; |
|
(б) |
−x2+ 2 x −2=0 |
; |
(в)x3−2=0 ;
(г) |
x3−x2 + 2 x−2=0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
√ |
|
|
i |
|
|
(а) |
x1,2= |
(−1±√ |
|
)=− |
± |
39 |
; |
||||||
1−4 5 2 |
|||||||||||||
|
10 |
10 |
|
||||||||||
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
(б)x1,2=1±√1−2=1±i ;
(в) пусть |
x=ρ(cos α+ isin α) , тогда |
x |
3 |
=2 |
3 |
|
|
3 α=2 πk |
(0 α< 2 π) , |
|||||||
|
|
|||||||||||||||
|
ρ=√2 ; |
|||||||||||||||
следовательно, α1 =0 ; α2 = |
2 π |
; α3= |
4 π |
; ; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(г) x3−x2+ 2 x −2=x2 (x−1)+ 2(x−1)=( x2+ 2)(x−1) |
, поэтому |
x1=1; x2,3=±√ |
|
i |
||||||||||||
2 |
||||||||||||||||
О т в е т. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(а) x1,2= |
1 |
(−1±√ |
|
i) ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
39 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(б)x1,2=1±i ;
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
1 |
|
√ |
3 |
|
|
3 |
|
|
1 |
|
√ |
3 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
(в) |
x1=√2, |
x2=√2(− |
|
+ |
|
|
i), |
x3 =√2 |
(− |
|
− |
|
|
i) |
; |
|||||||||||
2 |
2 |
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
(г) |
1 ; √ |
|
i ; −√ |
|
i . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Вычислить: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
(а) |
(1+ i)20 ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
(б) |
(1−i)20 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
20 |
|
|
|
π |
|
|
π |
20 |
|
10 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(а) |
(1+ i) =(√2 |
(cos |
4 |
+ isin |
4 )) |
|
=2 |
|
(cos 5 π+ i sin 5 |
π)=−2 |
|
=−1024 ; |
|
|
|||||||
|
20 |
|
|
|
|
−π |
|
|
|
−π |
|
|
20 |
10 |
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(б) |
(1−i) =(√2 |
(cos( |
|
4 |
)+ isin( |
4 |
))) =2 |
|
(cos (−5 π)+ isin |
(−5 π))=−2 |
|
=−1024 |
.
.
20
О т в е т.
(а) −1024 ;
(б) −1024 .
7. При каком условии квадрат комплексного числа z=u+ iv будет чисто мнимым числом? |
|
|||||||||
Р е ш е н и е. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Аргумент |
z2 должен быть |
π |
или |
3 π |
, следовательно, аргумент z должен быть |
π |
, |
|||
2 |
2 |
4 |
||||||||
или |
π + π |
, или |
3 π |
, или |
3 π |
+ π |
, то есть точка z должна лежать на биссектрисе |
|
|
|
|
4 |
|
4 |
|
4 |
|
|
|
|
|
какого-либо квадранта (исключая точку О). А это равносильно условию u = v ≠0 . О т в е т. u = v ≠0 .
21