матемКР№1-3
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА федеральное образовательное учреждение высшего
профессионального образования
«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»
(МИИТ)
ОДОБРЕНО: |
УТВЕРЖДЕНО: |
Кафедра «Высшая и |
Декан ф-та ТСиЗ |
прикладная математика» |
|
|
«__» ______2012 г. |
Составители: Блистанова Л.Д., д.ф.-м.н., доц., Захарова М.В., к.ф.-м.н., доц.,
Сперанский Д.В., д.т.н., проф.
МАТЕМАТИКА
Задания на контрольные работы № 1 – 3
для студентов 1 курса заочной формы обучения направление: 270800.62 – Строительство, профиль – ВВ, ДС, ГС.
Москва 2012 г.
1
Методические указания по выполнению контрольных работ
Задачи, включенные в контрольную работу, взяты из сборника задач, подготовленного коллективом преподавателей кафедры «Высшая и прикладная математика» РОАТ МГУПС. Все задачи имеют тройную нумерацию, которая включает номер раздела из сборника задач, уровень сложности задачи и порядковый номер задачи. Студент выполняет те задачи, последняя цифра номера которых совпадает с последней цифрой его учебного шифра. Например, студент, учебный шифр которого имеет последнюю цифру 5, в контрольной работе №1 решает задачи 1.1.5, 2.1.25, 2.2.5, 3.1.5, 3.2.5; в контрольной работе №2 – 6.2.5, 6.3.5, 7.1.5, 7.1.45, 7.3.5; в контрольной работе №3 – 8.1.5, 8.3.5, 9.1.5, 9.1.55, 9.2.25.
Перед выполнением контрольной работы студент должен ознакомиться с содержанием разделов рабочей программы, на освоение которых ориентирована выполняемая контрольная работа. Необходимую учебную литературу студент может найти в рабочей программе (в программе указана как основная, так и дополнительная литература).
Каждая контрольная работа выполняется в отдельной тетради, на обложке которой должны быть указаны: дисциплина, номер контрольной работы, шифр студента, курс, фамилия, имя и отчество студента. На обложке вверху справа указывается фамилия и инициалы преподавателя-рецензента.
Вконце работы студент ставит свою подпись и дату выполнения работы.
Вкаждой задаче надо полностью выписать ее условие. В том случае, когда несколько задач имеют общую формулировку, следует, переписывая условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из соответствующего номера.
Решение каждой задачи должно содержать подробные вычисления, пояснения, ответ, а также, в случае необходимости, и рисунки. После каждой задачи следует оставлять место для замечаний преподавателя-рецензента. В случае невыполнения этих требований преподаватель возвращает работу для доработки без ее проверки.
2
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 1
Элементы векторной алгебры, аналитической геометрии и линейной алгебры
|
1.1.1. Найти косинус угла между векторами |
BA и BC , если A(3; 2;3) ; |
||||||||
B(2; 0;1) ; |
C( 2;3;1) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.2. Найти косинус угла между векторами |
AB и AC , если A(3; 0;1) ; |
|
|||||||
B(5; 2; 2) ; C( 1; 3;1) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.1.3. Найти угол между векторами |
AB и AC , если A(2; 4; 1) ; |
B(0; 4; 0) ; |
|||||||
C( |
1; 4; |
2) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.4. Найти угол между векторами |
BA и BC , если A(5; 2;1) ; B(2; 4; 2) ; |
||||||||
C(1; 0; 7) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.1.5. Найти угол между векторами |
AB и AC , если A(2; 1;3) ; |
B(1; 2;3) ; |
|||||||
C(1; |
3;3) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.6. Найти угол между векторами |
AB и AC , если A(2;5; 3) ; |
B(5;2; |
3) ; |
||||||
C(0;5; 1) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.1.7. Найти косинус угла между |
BA и BC , если A(4; |
1; 4) ; B(3;1; 2) ; |
|
||||||
C( |
1; 4; 2) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.8. Найти косинус угла между |
AB и AC , если A(0; |
3; 2) ; |
B(2; |
5; |
1) ; |
||||
C( |
4; 6; |
2) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.1.9. Найти угол между AB и AC , если A(5; 7; 2) ; |
B(3; 7;3) ; C(2; 7;1) . |
|
|
||||||
Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.1.10. Найти угол между BA и BC , если A( |
2; 0; |
2) ; B(0; 2; 0) ; C( 1; |
2;5) . |
||||||
Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1.1.50. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах: |
|
||||||||
a(3;1;4) |
и b(2; 1;0) . Сделать чертеж. |
|
|
|
|
|
|
|
|
3
2.1.21.Составить уравнение перпендикуляра, проходящего через середину отрезка AB , если A(1, 3) ; B(3,1) . Сделать чертеж.
2.1.22.Составить уравнение прямой, проходящей через т. A(1,1) параллельно прямой 2x y 8 0 . Сделать чертеж.
2.1.23.Составить уравнение прямой, проходящей через т. A(2,1)
перпендикулярно прямой y 3x 1. Сделать чертеж.
2.1.24.Составить уравнение перпендикуляра, проходящей через середину отрезка AB , если A(2; 3) ; B(4; 5) . Сделать чертеж.
2.1.25.Составить уравнение прямой, проходящей через т. A 3;1 и параллельной прямой x y 5 0 . Сделать чертеж.
2.1.26.Составить уравнение прямой, проходящей через т. A 1;8 и параллельной прямой 5x y 4 0 . Сделать чертеж.
2.1.27.Составить уравнение перпендикуляра, проходящего через середину отрезка AB , если A 4; 2 ; B 2; 4 . Сделать чертеж.
2.1.28.Составить уравнение прямой, проходящей через т. A 1; 2 и параллельной прямой x 2 y 14 0 . Сделать чертеж.
2.1.29.Составить уравнение прямой, проходящей через т. A 1;3 и перпендикулярной к прямой x 2 y 3 0 . Сделать чертеж.
2.1.30.Составить уравнение перпендикуляра, проходящего через середину отрезка AB , если A(3; 2) ; B(5; 6) . Сделать чертеж.
2.2.1. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой
точки которой от начала координат и от точки А(5; 0) относятся как 2:1.
Сделать чертеж.
2.2.2.Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(–1; 0) вдвое меньше расстояния ее от прямой х=–4. Сделать чертеж.
2.2.3.Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки А(2; 0) и от прямой 5х+8=0 относятся, как 5:4. Сделать чертеж.
2.2.4.Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой находится вдвое дальше от точки А(4; 0), чем от точки В(1; 0). Сделать чертеж.
4
2.2.5. Составить уравнение и построить линию, расстояния каждой точки которой от точки А(2; 0) и от прямой 2х+5=0 относятся, как 4:5.
Сделать чертеж.
2.2.6. Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(3; 0) вдвое меньше расстояния от точки В(26; 0).
Сделать чертеж.
2.2.7.Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой одинаково удалена от точки А(0; 2) и от прямой у–4=0. Сделать чертеж.
2.2.8.Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноотстоит от оси ординат и от окружности х2+у2=4х. Сделать чертеж.
З а м е ч а н и е . Напомним, что за расстояние от точки А до фигуры Ф
принимается наименьшее из расстояний между точкой А и точками
фигуры Ф.
2.2.9.Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой равноудалена от точки А(2; 6) и от прямой у+2=0. Сделать чертеж.
2.2.10.Составить уравнение и построить линию, каждая точка которой отстоит от точки А(–4; 0) втрое дальше, чем от начала координат. Сделать чертеж.
3.1.1–3.1.10. Дана матрица А. Найти матрицу А-1, обратную данной. Решить задачу, воспользовавшись определением обратной матрицы. Сделать проверку, вычислив произведение А.А-1.
|
|
3 |
2 |
1 |
|
|
1 |
2 |
3 |
3.1.1. |
A |
2 |
3 |
1 |
3.1.2. |
A |
2 |
3 |
4 |
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
3 |
2 |
5 |
|
|
4 |
3 |
2 |
|
|
1 |
1 |
2 |
3.1.3. |
A |
2 |
5 |
3 |
3.1.4. |
A |
2 |
1 |
2 |
|
|
5 |
6 |
2 |
|
|
4 |
1 |
4 |
5
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
3 |
4 |
2 |
3.1.5. |
A |
3 |
4 |
2 |
3.1.6. |
A |
2 |
1 |
3 |
|
|
3 |
2 |
4 |
|
|
1 |
5 |
1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
1 |
4 |
2 |
3.1.7. |
A |
8 |
3 |
6 |
3.1.8. |
A |
3 |
1 |
1 |
|
|
4 |
1 |
3 |
|
|
3 |
5 |
6 |
|
7 |
5 |
0 |
|
1 |
2 |
4 |
3.1.9. |
A 4 |
0 |
11 |
3.1.10. |
A 5 |
1 |
2 |
|
2 |
3 |
4 |
|
3 |
1 |
1 |
3.2.1–3.2.10. Применяя метод Гаусса (метод исключения неизвестных), решить систему линейных уравнений. Сделать проверку.
|
x1 2x2 |
|
3x3 |
4x4 |
2 |
|
4x1 |
2x2 |
2x3 |
x4 |
9 |
||
|
x1 |
2x2 |
x3 |
2x4 |
0 |
|
x1 |
3x2 |
x3 |
7x4 |
24 |
||
3.2.1. |
3x1 |
x2 |
2x3 |
x4 |
12 |
3.2.2. |
2x1 x2 |
x3 |
|
x4 |
2 |
||
|
3x1 |
x2 |
x3 |
3x4 |
11 |
|
3x1 |
4x2 |
x3 |
|
x4 |
8 |
|
|
3x1 |
2x2 |
2x3 |
2x4 |
23 |
|
x1 |
2x2 |
3x3 |
|
x4 |
1 |
|
|
x1 |
3x2 |
|
x3 |
2x4 |
12 |
|
5x1 |
2x2 |
x3 |
2x4 |
25 |
|
3.2.3. |
2x1 |
x2 |
x3 |
4x4 |
23 |
3.2.4. |
3x1 |
x2 |
2x3 |
|
x4 |
18 |
|
|
3x1 |
4x2 |
x3 |
2x4 |
10 |
|
3x1 |
x2 |
x3 |
3x4 |
18 |
||
|
x1 |
x2 |
|
2x3 |
3x4 |
0 |
|
2x x x 2x |
2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
|
|
x2 |
2x3 x4 7 |
|
|
2x1 |
3x2 |
2x3 |
|
x4 |
13 |
|||
3.2.5. |
2x1 |
3x2 |
x3 |
x4 |
3 |
3.2.6. |
x1 |
3x2 |
x3 |
2x4 |
0 |
||
|
2x1 |
2x2 |
x3 |
2x4 |
6 |
|
4x1 |
3x2 |
2x3 |
|
3x4 |
11 |
|
|
2x1 |
x2 |
x3 |
2x4 |
9 |
|
3x1 |
x2 |
2x3 |
|
x4 |
11 |
|
|
x1 |
2x2 |
|
x3 |
x4 |
2 |
|
2x1 |
3x2 |
x3 |
|
2x4 |
5 |
3.2.7. |
x1 |
x2 |
2x3 |
3x4 |
5 |
3.2.8. |
x1 |
2x2 |
x3 |
|
3x4 |
4 |
|
|
2x1 |
2x2 |
x3 |
2x4 |
3 |
|
3x1 |
5x2 |
2x3 |
x4 |
5 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2x1 |
x2 |
2x3 |
x4 |
2 |
3x x 2x x 19 |
|||||
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
3 |
4 |
|
x1 |
2x2 |
x3 |
3x4 |
2 |
2x 2x x 3x |
9 |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
4 |
|
3.2.9. x1 |
x2 |
x3 |
x4 |
5 |
3.2.10. x1 |
2x2 |
|
2x3 |
x4 |
19 |
2x1 |
x2 |
3x3 |
2x4 |
9 |
4x1 |
3x2 |
|
2x3 |
2x4 |
34 |
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 2
Введение в математический анализ. Производная и ее приложения.
6.2.1–6.2.10. Найти пределы функций, не пользуясь правилом Лопиталя.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.2.1. а) lim |
1 |
2x |
б) lim |
|
1 x |
1 x |
|
|
3x |
2 |
|
|
3x |
|
|||
x |
x 0 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
в) lim |
1 |
|
|
cos x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
5x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.2.2. а) lim |
|
x3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2x |
3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) lim |
arcsin 3x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.2.3. а) lim |
|
2x3 |
|
|
|
x2 |
5 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в) lim |
|
|
1 |
|
|
|
cos2x |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.2.4. а) lim |
|
3x4 |
|
|
|
x2 |
6 |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
2x |
4 |
|
|
x |
2 |
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) lim |
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
arctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6.2.5. а) lim |
|
2x2 |
|
|
|
6x |
5 |
|
|||||||||||||||
|
5x |
2 |
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) lim |
|
|
|
|
cos x |
|
|
cos3 x |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6.2.6. а) lim |
|
3 |
|
|
x 5x4 |
|
|||||||||||||||||
|
x |
4 |
|
|
|
12x |
1 |
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
x |
3 |
x |
x |
2 |
|
|
x |
|
||
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim |
|
|
|
|
2x |
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
г) lim |
|
|
|
|
4x |
1 |
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) lim 1 |
|
|
2x 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
б) lim |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
г) lim |
|
|
|
|
x ln |
|
|
x |
|
|
1 ln x |
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
б) lim |
|
1 |
|
|
3x |
|
|
|
|
1 2x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x |
2 |
|
|||||||||||||||
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7
в) lim |
x2 ctg 2x |
г) |
lim 2x 1 ln x 3 ln x |
|
|||
x 0 |
sin 3x |
|
x |
|
|
|
|
x 2x2 |
5x4 |
|
|
|
|
1 3x2 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
6.2.7. a) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
б) lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
3x |
2 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
x |
2 |
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) lim |
|
1 |
|
|
cos 6x |
; |
|
|
|
|
|
|
г) lim (x |
5)[ln( x |
|
|
|
3) ln x]. |
|||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
5x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6.2.8. a) lim |
|
|
|
|
3x 1 |
; |
|
|
|
б) lim |
|
|
2x |
1 |
|
|
5 |
|
; |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3x |
2 |
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) lim |
|
tg2 (x / 2) |
; |
|
|
|
|
|
|
г) lim (7 |
6x)x /(3x |
3) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
7x4 |
|
|
2x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
6.2.9. a) lim |
|
|
|
|
|
2 |
; |
|
б) lim |
|
1 3x |
|
|
2x 6 |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
5x |
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) lim |
|
1 |
|
|
cos 4x |
|
; |
|
|
|
|
|
|
г) lim (3x |
5)2 x /(x2 |
4) . |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2x tg2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
6.2.10.a) lim |
|
8x5 |
|
|
3x2 |
|
|
9 |
; |
б) lim |
|
|
x |
2 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
2x |
5 |
|
|
2x |
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) lim 5x ctg3x; |
|
|
|
|
|
|
г) lim (3x |
|
8)2 /(x |
3) . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.3.1–6.3.10. Задана функция у=f(х) и два значения аргумента x1 и х2. Требуется: 1) установить, является ли данная функция непрерывной или разрывной для каждого из данных значений аргумента; 2) в случае разрыва функции найти ее пределы в точке разрыва слева и справа; 3) сделать схематический чертеж.
6.3.1. f (x) |
91/(2 x) , |
x1 |
0, |
x2 |
|
2. |
||||
6.3.2. f (x) |
41/(3 x) , |
x1 |
1, |
x2 |
3. |
|||||
6.3.3. f (x) |
121/ x , |
x1 |
0, |
x2 |
|
2. |
||||
6.3.4. f (x) |
31/(4 x) , |
x1 |
2, |
x2 |
|
4. |
||||
6.3.5. f (x) |
81/(5 x) , |
x1 |
3, |
x2 |
|
|
|
5. |
||
6.3.6. |
f (x) |
101/(7 |
x) , |
x |
5, |
x |
2 |
|
7. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
6.3.7. |
f (x) |
141/(6 |
x) , |
x |
4, |
x |
2 |
6. |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
6.3.8. |
f (x) |
151/(8 |
x) , |
x |
6, |
x |
2 |
8. |
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||
6.3.9. |
f (x) |
111/(4 |
x) , |
x |
4, |
|
x |
2 |
2. |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
8
6.3.10. f (x) |
131/(5 |
x) , |
|
x |
5, |
|
|
x |
2 |
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7.1.1–7.1.10. Найти производные |
dy |
|
данных функций. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln ctg |
x |
|
||||
7.1.1. a) |
|
y |
arccos |
|
|
|
x |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
y |
; |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||
в) |
|
x 2t 2 |
|
|
|
t, |
|
|
|
|
|
y ln t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25 |
arccos |
x |
; |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7.1.2. a) |
|
y |
|
|
25 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
б) |
y |
exp ctg2x ; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
x |
1 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
2 |
|
|
|
t 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
1 |
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
y |
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7.1.3. а) |
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
; б) y = arcctg [exp(5x)] ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 |
x |
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) x = sin23t, y = cos23t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cos 3x |
|
|||||||||||||||||
7.1.4. a) |
|
y |
|
ln x |
|
|
|
x 2 |
1 ; |
|
|
|
|
|
б) |
y |
; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
cos 3x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) x = t4 + 2t, y = t2 + 5t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
7.1.5. a) |
|
y |
|
|
|
|
|
|
x 2 |
1 |
|
|
|
|
arccos |
|
|
1 |
|
; |
|
|
|
|
б) |
|
y x |
1 exp x 2 ; |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
в) x = t – ln sint, y = t + ln cost . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7.1.6. a) |
y |
|
1 |
ctg2 x |
ln sin x; б) y = exp(cos3x) . |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) x = tg t , y |
1 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin 2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
2x; б) y = 3x exp(-x-2) ; |
||||||||||||||
7.1.7. a) |
y |
|
ln |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
в) x = t2 – t3 , y = 2t3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
7.1.8. a) y = ln cos2x – ln sin2x ; б) |
y |
|
|
2ctg2 3x ; |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в) x = cos3t , y = sin3t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
arccos |
x |
|
|
|
1 |
; б) y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
7.1.9. a) |
|
|
|
|
|
|
|
ln ctg |
|
|
x |
2 |
; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) x = 3sint, y = 3cos2t .
9
7.1.10. |
a) y |
tg 3 x |
|
ctg 2 x |
ln sin x; б) y x exp |
1 |
; |
|
3 |
2 |
x |
||||||
|
|
|
|
в) x = 2t – t2 , y = 2t3 .
7.1.41–7.1.50. Найти пределы функции, применяя правило Лопиталя.
7.1.41. |
|
lim |
1 |
2 |
sin x |
. |
|
|
|
7.1.42. |
lim |
|
cos 2x |
. |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
1 |
|
3tgx |
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
tgx |
||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
e2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|||||||||||||
7.1.43. |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
7.1.44. |
lim |
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
ln 1 |
|
2x |
|
|
|
|
x 1 ln x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7.1.45. |
lim |
ex |
|
|
e x |
|
|
|
|
2x |
. |
7.1.46. |
lim x3 ln x. |
|||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7.1.47. |
|
lim |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
. |
|
7.1.48. |
lim |
|
x2 |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ex |
|
|
1 |
x |
|
e2 x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
ln 1 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
ex |
e |
|
|
x |
|||||||||||
7.1.49. |
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
7.1.50. |
lim |
|
|
|
|
|
. |
||||||
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
x 0 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
ln 1 |
x |
||||||||||||||
7.3.1–7.3.10. Исследовать методами дифференциального исчисления |
||||||||||||||||||||||||||||||||
функцию |
y |
f (x) и, |
используя |
результаты |
исследования, построить ее |
|||||||||||||||||||||||||||
график. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.3.1. |
y |
x2 |
|
|
|
2ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
7.3.2. |
y |
(x2 |
1) /(x2 |
1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7.3.3. |
y |
(x2 |
1) /(x2 |
1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7.3.4.y x2 /(x 1) .
7.3.5.y x3 /(x2 1) .
7.3.6. |
y |
(4x3 |
5) / x . |
7.3.7. |
y |
(x2 |
5) /(x 3) . |
7.3.8.y x4 /(x3 1) .
7.3.9.y 4x3 /(x3 1) .
7.3.10. y (2 4x2 ) /(1 4x2 ) .
10