2.3.3. Численное моделирование

Рис. 10. Ошибки S11(θ ) в логарифмическом масштабе для экстраполяции с использованием 5

значений y в интервалах (а) [0.047,0.094], (б) [0.094,0.19] и (в) [0.38,0.75] для куба с kD = 8.

Оценка погрешности экстраполяции – 10×СО.

9.0×10−5, поэтому нет большой разницы какое из них использовать в качестве эталона при определении, например, ошибки экстраполяции пяти худших дискретизаций

(ymin = 0.38, ymax = 0.75). Поэтому все выводы о достоверности оценки погрешности (обсуждаемые в подразделе 2.3.4) не зависят от конкретного эталона при достаточно больших ymin. Мы предполагаем, что эти выводы можно распространить на меньшие ymin, тогда эталон на основе экстраполяции лучших дискретизаций является хорошей оценкой точного значения.

89

Рис. 11. Ошибки S11(θ ) в логарифмическом масштабе для экстраполяции с использованием 5 значений y в интервалах (а) [0.058,0.12] и (б) [0.12,0.23] и (в) 4 значений в интервале [0.23,0.93] для дискретизированного шара с kD = 10. Оценка погрешности экстраполяции – 10×СО.

Все приведённые аргументы верны также и для дискретизированного шара (результаты для Qext приведены в таблице 3), а сравнение ошибок различных экстраполяций для S11(θ ) (см. рис. 10 и 11) даже более убедительно. Сами эталонные результаты приведены на рис. 5 и в таблице 2.

В дальнейшем мы демонстрируем результаты экстраполяции: зависимость относительной ошибки Qext (со знаком) от y для всех пяти тестовых задач показана на

90

Рис. 12. Ошибки S11(θ ) в логарифмическом масштабе для экстраполяции с использованием 9 значений y в интервалах (а) [0.018,0.070] и (б) [0.14,0.55] для шара с kD = 3. Оценка погрешности экстраполяции – 2×СО.

рис. 9. Рисунок 9(а) показывает результаты для куба и дискретизированного шара, для каждого из них приведён результат подгонки квадратичной функции по 5 лучшим точкам (как описано в подсекции 2.3.2), а на рис. 9(б) показаны аналогичные результаты для шаров вместе с подгонками по 9 лучшим точкам. Во втором случае известно точное решение Ми, поэтому точка пересечения подгонки с осью ординат есть мера точности экстраполяции. В таблице 3 собраны параметры (ymin, ymax, количество точек) всех проведённых экстраполяций и их эффективность для Qext.

Далее представлены результаты экстраполяции для S11(θ ): на рис. 10 приведены результаты для куба. На каждом графике показаны реальные ошибки (по сравнению с эталоном) и оценка погрешности экстраполяции вместе с ошибками лучшей и худшей из использованных дискретизаций, при этом для лучшей экстраполяции показана только оценка погрешности – рис. 10(а). На рис. 10(б) и (в) экстраполяция проводилась по пяти точкам в интервалах [0.094,0.19] и [0.38,0.75] соответственно.

91

Рис. 13. Ошибки S11(θ ) в логарифмическом масштабе для экстраполяции с использованием 9 значений y в интервалах (а) [0.059,0.23] и (б) [0.12,0.47] для шара с kD = 10. Оценка погрешности экстраполяции – 2×СО.

Эффективность экстраполяции для дискретизированного шара отражена на рис. 11: (а) – лучшая экстраполяция, (б) и (в) – результаты использования 5 и 4 значений y в интервалах [0.12,0.23] и [0.23,0.93] соответственно. Разреженность точек для экстраполяции, показанной на рис. 11(в), связана, как было отмечено выше, со сложной формой, которая требует, чтобы y равнялось 0.93, делённому на целое число

[суммарное время вычислений для этих 4 точек < 1.6t(ymin)]. Ещё раз подчеркнём, что в качестве оценки погрешности используется 10×СО для куба и дискретизированного шара и 2×СО для шаров (см. подраздел 2.3.2).

Результаты экстраполяции для шара с kD = 3 представлены на рис. 12: (а) отражает лучшую экстраполяцию (по 9 точкам в интервале [0.018,0.070]), а (б) – худшую из удовлетворительных экстраполяций, т.е. из тех, что определённо улучшают точность для большинства значений θ. Например, экстраполяция 5 точек из интервала [0.28,0.54] не удовлетворительная (данные не приведены). Ошибки двух лучших экстраполяций для шара с kD = 10 (по 9 точкам из интервалов [0.059,0.23] и [0.12,0.47])

92

Рис. 14. Ошибки S11(θ ) в логарифмическом масштабе для экстраполяции с использованием 9 значений y в интервале [0.18,0.70] для шара с kD = 30.

Рис. 15. Сравнение ошибок формы и дискретизации для S11(θ ) для шара с kD = 10, дискретизированного с использованием 16 диполей на D ( y = 0.93).

показаны на рис. 13(а) и (б) соответственно, а третья экстраполяция для этого шара не удовлетворительная (данные не приведены). Обе экстраполяции для шара с kD = 30 показали похожие противоречивые результаты, только одна из них (по 9 точкам из интервала [0.18,0.70]) – та, что в целом немного лучше, – показана на рис. 14. Оценка погрешности экстраполяции в этом случае в целом немного больше чем реальные ошибки (данные не приведены).

Результаты S11(θ ) для всех экстраполяций (см. таблицу 3) имеют следующую общую тенденцию: качество экстраполяции (определяемое как улучшение точности по сравнению с одиночным вычислением с ymin) резко ухудшается с увеличением ymin. Отношение оценки погрешности к реальным ошибкам экстраполяции увеличивается с ymin, что можно считать ухудшением качества оценки.

93