Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Новосибирский государственный университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Б2.В.ОД.6 Дополнительные главы математического анализа

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

28.03.2016

Размер:

1.1 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Самостоятельная работа – 7 часов

Самостоятельная работа студентов предусматривает:

	№ занятия		Норма
Раздел		Вид работы	времени на
		Вид работы	времени на
(тема), Код			выполнение
			выполнение
компетенции			(в часах)
			(в часах)

Тема 1
(ОК-1,10,	1,2	Подготовка к практическим занятиям.	1
ПК-6)

Тема 2
(ОК-1,10,	3,4	Подготовка к контролю текущих знаний по	1
ПК-6)		дисциплине.

Тема 3
(ОК-1,10,	5	Подготовка к практическим занятиям.	1
ПК-6)

Тема 6
(ОК-1,10,	9	Подготовка к практическим занятиям.	1
ПК-6)

Тема 7
(ОК-1,10,		Подготовка к практическим занятиям.	1
ПК-6)

Тема 9
(ОК-12,	16	Подготовка к практическим занятиям.	2
ПК-4,5)

5.Образовательные технологии

Воснове преподавания дисциплины лежит лекционно-семинарская система обучения, что позволяет студенту через процесс активного продумывания теоретического материала при решении задач выработать правильные представления о глубоких и абстрактных понятиях данного математического курса.

Вкурсе используется технология блочно-модульного обучения. Он состоит из двух основных блоков: интегрирование на многообразиях (разделы 1-3 дисциплины) и элементы функционального анализа (разделы 4-9), изучив которые студент имеет возможность решать практические задачи.

При изучении дисциплины применяется контекстное обучение, позволяющее студентам усваивать новые знания (вычисление криволинейных и поверхностных интегралов, нахождение физических характеристик, изучение общих свойств объектов различной природы) путем выявления связей с уже имеющимися знаниями (интегральное и дифференциальное исчисление функции действительной переменной, теория числовых рядов, основные законы физики).

Учет индивидуальных особенностей обучающихся осуществляется через систему подбора заданий разного уровня для самостоятельного решения, которые выбираются из перечисленного списка заданий (пункт 6).

6. Перечень учебно-методического обеспечения для самостоятельной работы обучающихся по дисциплине

Методические рекомендации по самостоятельной работе обучающихся приводятся в приложении к рабочей программе дисциплины (Приложение А).

7. Фонд оценочных средств для проведения текущей и промежуточной аттестации обучающихся по дисциплине

7.1. Перечень компетенций с указанием этапов их формирования приведен в описании образовательной программы

Компетенция

Знания, умения, навыки

Процедура оценивания

Имеет

представление

связи

Проверка

решения

задач

ОК-1

интегрирования

на

многообразиях

для

самостоятельного

функционального

анализа

задачами

решения при подготовке к

физики, механики.

семинару.

ОК-10

Знает

базовых

понятиях

Контрольная работа,

интегрирования

на

многообразиях

контрольный опрос.

функционального анализа.

ОК-12

Умеет

иллюстрировать

полученные

Индивидуальное задание.

решения

с помощью

программных

средств.

ПК-4

Умеет проанализировать

поставленную

Проверка

решения

задач

задачу на разрешимость.

для

самостоятельного

решения при подготовке к

семинару,

индивидуальное

задание.

ПК-5

Знает постановку задач на абстрактном

Индивидуальное задание,

уровне и умеет применять теоретические

устный опрос.

знания.

ПК-6

Умеет применять теоремы для

Индивидуальное задание,

обоснования решения задач.

контрольный опрос.

7.2. Описание показателей и критериев оценивания компетенций, описание шкал оценивания. Контроль и оценка результатов освоения учебной дисциплины.

Уровень

Пороговый

ОК-1 владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, восприятию

информации, постановке цели и выбору путей ее достижения

Показатели (что		Оценочная шкала
обучающийся
должен
должен	удовлетворительно	хорошо	отлично
продемонстрировать)	удовлетворительно	хорошо	отлично
продемонстрировать)
Иметь представление	Имеет неполное	Допускает	Демонстрирует
о значимости и роли	представление о	неточности при	четкое
теоретического	значимости	обосновании	теоретическое
обоснования	теоретического	решения	обоснование при
решения конкретных	обоснования при	поставленной	решении
задач.	решении задач.	задачи.	поставленной
Уметь обобщать	Демонстрирует	Выделяет типовые	задачи.
закономерности и	слабое владение	Задачи и может их	Может указать к
выделять различия	классификацией	классифицировать.	какому типу
при решении задач.	типовых задач.		относятся
			предложенные
			нестандартные
			задачи.

Уровень

Пороговый

ОК-10

использует основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применяет методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования

Показатели (что		Оценочная шкала
обучающийся
должен
должен	удовлетворительно	хорошо	отлично
продемонстрировать)	удовлетворительно	хорошо	отлично
продемонстрировать)
Имеет представление	Имеет неполное	Допускает	Демонстрирует
о базовых понятиях	представление о	неточности при	глубокое
интегрирования на	базовых понятиях	формулировке	понимание
многообразиях и	Демонстрирует	базовых понятий.	базовых понятий.
функционального	слабое владение	Владеет не всем	Может применять
анализа.	математическим	математическим	с полным
Умеет выделять	аппаратом этих	аппаратом этих	обоснованием
нужные разделы,	разделов.	разделов.	математический
правильно			аппарат этих
интерпретировать			разделов.
математический
аппарат этих
разделов.

ОК-12

имеет навыки работы с компьютером как средством управления информацией

	Показатели (что		Оценочная шкала
Уровень	обучающийся
Уровень	должен
	должен	удовлетворительно	хорошо	отлично
	продемонстрировать)	удовлетворительно	хорошо	отлично
	продемонстрировать)

	Имеет представление	Имеет слабое	Может	Может выбрать
	о средствах и	представление о	использовать	наиболее
	программах,	средствах и	программные	оптимальный для
	позволяющих	программах,	средства.	поставленной
	подтвердить и	позволяющих	Иллюстрирует	задачи
Пороговый	наглядно	подтвердить и	полученные	программный
Пороговый	продемонстрировать	наглядно	решения, но	продукт.
	продемонстрировать	наглядно	решения, но	продукт.
	решение или	продемонстрирова	делает не всегда	Может объяснить
	свойства решения	ть решение или	верные выводы.	закономерности и
	поставленной задачи.	свойства решения		особенности
	Умеет	поставленной		полученной
	иллюстрировать	задачи.		иллюстрации.
	полученные решения	Иллюстрирует
	с помощью	полученные
	программных	решения без
	средств.	выводов.

ПК-4 разрабатывать модели компонентов информационных систем, включая модели баз данных

	Показатели (что		Оценочная шкала
Уровень	обучающийся должен
Уровень	продемонстрировать)
	продемонстрировать)	удовлетворительно	хорошо	отлично
		удовлетворительно	хорошо	отлично

	Иметь представление о	Имеет неполное	Допускает	Демонстрирует
	возможности описания	представление о	неточности при	полное
	конкретного реального	связи реальных	обосновании связи	обоснование связи
	процесса с помощью	процессов с	реальных	реальных
Пороговый	математического	математическим и	процессов с	процессов с задачей
Пороговый	аппарата.	функциональным	математическим и	Коши и краевой
	аппарата.	функциональным	математическим и	Коши и краевой
	Умеет для простейших	анализом.	функциональным	задачей.
	задач дать ее	Допускает	анализом.	Точно формулирует
	интерпретацию в	существенные	Правильно	входные данные и
	терминах	неточности при	описывает входные	обосновывает
	интегрирования на	постановке задачи и	данные, но не	способ решения.
	многообразиях или (и)	нахождении	полностью может
	функционального	аналитического	обосновать способ
	анализа.	решения.	решения.

Уровень

Пороговый

ПК-5 разрабатывать компоненты программных комплексов и баз данных, использовать

современные инструментальные средства и технологии программирования

Показатели (что		Оценочная шкала
обучающийся должен
продемонстрировать)
продемонстрировать)	удовлетворительно	хорошо	отлично
	удовлетворительно	хорошо	отлично
Иметь представление о	Имеет неполное	Допускает	Демонстрирует
возможности	представление о	неточности при	полное
использования	возможности	обосновании	обоснование
интегрирования на	использования	использования	использования
многообразиях и	аппарата	аппарата	аппарата
функционального	интегрирования на	интегрирования на	интегрирования на
анализа, об	многообразиях и	многообразиях и	многообразиях и
обосновании	функционального	функционального	функционального
теоретических	анализа, об	анализа.	анализа.
выводов в прикладной	обосновании	Выделяет типовые	Может указать, к
математике, механике,	теоретических	задачи и может их	какому типу
физике,	выводов.	решать.	относятся
электротехнике.	Демонстрирует		предложенные
Умеет вычислять	слабое владение		нестандартные
криволинейные и	методов решения		задачи, и
поверхностные	типовых задач.		предложить способ
интегралы.			решения.

ПК-6 обосновывать принимаемые проектные решения, осуществлять постановку и выполнять

эксперименты по проверке их корректности и эффективности

	Показатели (что		Оценочная шкала
Уровень	обучающийся
Уровень	должен
	должен	удовлетворительно	хорошо	отлично
	продемонстрировать)	удовлетворительно	хорошо	отлично
	продемонстрировать)

	Иметь представление	Имеет неполное	Допускает	Демонстрирует
	об основных	представление об	неточности при	понимание
	теоремах теории	основных теоремах	формулировке и	формулировок
	интегрирования на	теории	доказательстве	теорем и четкое
	многообразиях и	интегрирования на	теорем.	доказательство.
	функционального	многообразиях и	Применяет	Правильно
Пороговый	анализа.	функционального	теоремы для	применяет
Пороговый	Умеет применять	анализа.	обоснования	теоремы для
	Умеет применять	анализа.	обоснования	теоремы для
	теоремы для	Демонстрирует	корректности	обоснования
	обоснования	слабое умение	поставленных	корректности
	разрешимости и	применять	задач, но	поставленных
	исследования	теоремы для	допускает не	задач.
	корректности	обоснования	верные
	поставленных задач.	разрешимости и	предложения.
		исследования
		корректности
		поставленных
		задач.

Если хотя бы одна из компетенций не сформирована, то положительной оценки по дисциплине быть не может.

7.3. Типовые контрольные задания

а) Пример варианта контрольной работы.

Тема: криволинейные и поверхностные интегралы, элементы теории поля. 1. Вычислить криволинейные интегралы

а)		x ds,	L – часть кривой	ae	, 0,	a 0, 0 , находящаяся


	L

внутри круга

;

, y

б)

x dx y dy, x и

– непрерывные функции.

, y

Найти длину дуги кривой

x e

cos t,

y e

sin t, z e

0 t .

ax, a 0,

Найти площадь области, ограниченной кривой x y

и осью Ox .

Вычислить поверхностные интегралы

а)

xyz ds, S – часть поверхности z x

, отсекаемая

плоскостью

z 1;

б) xdydz ydzdx zdxdy, S – внешняя сторона сферы

в)

dydz y

dzdx z

dxdy, S

– внешняя сторона куба

a	2

;

0 x a,

0 y

5.Для функции области x 0,

a, 0 u x, y, y 0,

z a

z x

z 0 .

	z		z
2	y	2		2

найти inf grad u, sup grad u в

б) Примеры индивидуальных заданий и заданий для самостоятельной работы.

1. Вычислить криволинейные интегралы

а)

б)

в)

г)

y ds, L – дуга параболы y							2	2 px,	отсеченная
y ds, L – дуга параболы y								2 px,	отсеченная
L
			параболой x		2	2 py ;
			параболой x			2 py ;
				первая арка циклоиды x a 1 sin t ,
		2 y ds, L –		первая арка циклоиды x a 1 sin t ,
L
	y dx x dy, L			– эллипс x a cos t,					y bsin t ;
	y dx x dy, L			– эллипс x a cos t,					y bsin t ;
L
(2,.3)
		ydx xdy .
( 1,2)

a 1

cos

;

2. Вычислить поверхностные интегралы

			4				x	y	z
а)		z 2x	3	y ds,	S	– часть плоскости				1,
	S						2	3	4
							2	3	4

лежащая в первом

октанте;

б)		xdydz ydxdz zdxdy,	S

	S

плоскостями

–положительная сторона куба, составленного

x0, y 0, z 0, x 1, y 1, z 1 .

3. Найти длину кривой, задаваемой равенствами

0,0,0 до точки 3,3,2 .

x	2	3y,	2xy 3z,

от точки

4. Для функции

1,1

3,4 .

	f x, y arcsin	x
	f x, y arcsin	x y
		x y

найти угол между градиентами в точках

5. Доказать соотношения


rot grad u 0,	div rot A 0, div grad u

	2	u
	2
x
		2

2uy 2

2uz 2

6. Будет ли множество R действительных чисел метрическим пространством, если метрика x, y определена равенствами

а)

x, y arctg x arctg y

;б)

x, y min 1,

7.	Привести примеры замкнутых множеств A и					B в метрическом
пространстве				X таких, что A, B 0 , но а) A B ;			б)		A B .
8.	Будет ли полным метрическим пространством множество всевозможных
числовых последовательностей xk таких,					что
		p		p 1, k – заданная последовательность, если метрику на
xk		p	k ,
xk			k ,
k 1
						p		p
этом множестве задать равенством x, y
этом множестве задать равенством x, y					xk	yk	k		?
				k 1
9.	Пусть X есть линейное пространство, A X ,					B X	– выпуклые

множества. Будут ли выпуклыми множества

A B,

10.	Будет ли дополнение к нигде не плотному множеству всюду плотным?
Будет ли дополнение к всюду плотному множеству нигде не плотным?
11.	В линейном пространстве многочленов P x степени не выше заданного
числа n , определенных на отрезке a,b , зададим норму			P x	max	P x	.
числа n , определенных на отрезке a,b , зададим норму				max		.
				a x b
Будет ли это пространство банаховым?
12.	В линейном пространстве многочленов P x , определенных на отрезке
a,b , зададим норму		P x max P x . Будет ли это пространство
		a x b

банаховым?

13. Компактны ли следующие множества в пространстве C 0,1 :

а)

б)

в)

г)

x	n	t :
	n

x	n	t :
	n

x	n	t :
	n
x		t :

x	n	t
	n
x	n	t
	n
x	n	t
	n
x		t

t	n	;

sin nt
sin x
arctg

; nt,

;

14.

Пусть xn , y n суть две последовательности из гильбертова

пространства H такие, что xi , y j ij

( ij

– символ Кронекера,

, –

скалярное произведение в H ).

Доказать, что системы xn и yn

линейно

независимы.

15.

Доказать, что для любых элементов

x и

гильбертова пространства H

выполняется равенство x y

x y

2 x

16.

Пусть xn есть ортонормированная последовательность из гильбертова

пространства	H . Доказать, что ряд
			2
сходится числовой ряд		xn	2	.
сходится числовой ряд		xn		.
		n 1

xk

k 1

сходится тогда и только тогда, когда

17. Доказать, что следующие операторы будут линейными ограниченными, и найти их нормы

	A : C 0,1 C 0,1 ,	Ax t	t	x d ;
а)
а)
			0
б)	A : C 0,1 C 0,1 ,	Ax t t 2 x 0 ;
в)	A : C 0,1 C 0,1 ,	Ax t x t 2 .
18. Будет ли ограниченным оператор					A : C 0,1 C 0,1 ,		t с
18. Будет ли ограниченным оператор					A : C 0,1 C 0,1 ,	Ax t x	t с

областью определения – множеством всех непрерывно дифференцируемых на 0,1 функций?

19. Пусть X есть нормированное пространство, A : X X линейный оператор такой, что для некоторых действительных чисел 1 , , n

выполняется I A			An 0	. Доказать, что оператор A обратим.
	1	n
20.	Какие из следующих операторов A : C 0,1 C 0,1 являются вполне
непрерывными
		t
а) Ax t tx t ; б) Ax t x d ;				в) Ax t x 0 tx 1 ?
		0
21.	Доказать, что следующие функционалы над пространством C 1,1

являются линейными непрерывными функционалами, и найти их нормы

		1	x 1 x 1 ;		1	0	1
а)	f x			б)	f x x t dt x 0 ; в)	f x x t dt x t dt .
		3
					1	1	0

22. Пусть функция

f t задана и непрерывно дифференцируема на отрезке


a,b , отображает этот отрезок в себя, причем max f t 1. Доказать, что
				[a,b]
уравнение	f t t имеет на a,b решение, и причем ровно одно.
23. Пусть есть непрерывный оператор, переводящий банахово
пространство		X	в себя и такой, что для некоторого натурального m
оператор	m	(	m	x x ) является сжимающим. Доказать, что

оператор		имеет в X неподвижную точку.

в) В экзаменационном билете содержатся два теоретических вопроса из разных разделов.

Билет № 1 1. Продолжение линейного оператора с всюду плотного линейного

многообразия.

2. Формула Гаусса-Остроградского.

Билет № 2

1.Вполне непрерывные операторы. Пространство линейных вполне непрерывных операторов.

2.Градиент, дивергенция, ротор и циркуляция векторных полей.

7.4. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций.

В течение семестра самостоятельная работа студента подразделяется на два вида. Первый вид подготовка к практическим занятиям состоит из заданий разного уровня сложности (обязательного и повышенного) и выбирается студентом самостоятельно из предложенного списка задач. Оригинальные решения задач повышенного уровня, предложенные студентами, обсуждаются на семинаре и оцениваются от 1 до 3 баллов. Также эти задания являются базой для успешного выполнения контрольной работы, за которую студент получает оценку, суммирующуюся с баллами.

Другой вид самостоятельной работы индивидуальное задание. В этом виде самостоятельной работы студент должен проанализировать изученные методы решения и выбрать наиболее эффективный, и обосновать этот выбор во время сдачи задания. Задание выполняется в течение двух недель. Выполнение индивидуального задания дает от 1 до 10 баллов и позволяет оценить практические умения. Если после сдачи индивидуального задания (8 неделя) общий рейтинг студента составляет менее 10 баллов, то к экзаменационному билету добавляется задача.

8. Перечень основной и дополнительной учебной литературы, необходимой для освоения дисциплины

а) основная литература

1.Амандус Н.Е., Кожанов А.И., Шваб И.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Часть I. Основной курс. Учебн. пособие. Новосибирск: НГУ, 2008.

2.Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов : [учебное пособие для студентов втузов / Б.П. Демидович, Г.С. Бараненков, В.А. Ефименко и др.] ; под ред. Б.П. Демидовича .— Москва : Астрель : АСТ, 2004 .— 495 с. : ил. ; 21 см.

б) дополнительная литература

3.Кудрявцев Л.Д. Математический анализ. Т. 2. М.: Высшая школа, 1973.

4.Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

5.Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа.

М.: Наука, 1965.

6.Треногин В.А., Писаревский Б.М., Соболева Т.С. Задачи и упражнения по функциональному анализу. М.: Физматлит, 2001.

7.Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.:

Наука, 1992.

8.Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2005.

9.Егоров А.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. М.: Физматлит, 2005.

10.Решетняк Ю.Г. Курс математического анализа. Ч. II, т. 1. Новосибирск, Ин-т математики СО РАН, 2000; Ч. II, кн. 2. Новосибирск, Ин-т математики СО РАН, 2001.

9.Перечень ресурсов информационно-телекоммуникационной сети «Интернет», необходимых для освоения дисциплины

1.Интернет-библиотека Мира математических уравнений. Раздел: Математический анализ, функциональный анализ. URL: http:\\eqworld.ipmnet.ru/ru/library/mathematics/calculus.htm

2.Интернет-библиотека Московского центра непрерывного математического образования. http://www.mccme.ru/free-books/

10.Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины

На семинары и на лекции отводится одинаковое количество часов, что указывает на практическую направленность курса, поэтому содержание семинарских занятий соответствует разделам лекционного материала и направлено на более глубокое формирование компетенций.

<<< < Предыдущая 12 / 32 3 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.2018274.94 Кб4Аристотель_категории.doc
#
18.09.2019212.48 Кб9Артамонов_Курсовая.doc
#
06.06.201544.72 Кб10Археология_требования к оформлению курсовых.docx
#
28.03.20161.09 Mб34Б1.В.ОД.1 Когнитивная психология.pdf
#
28.03.20161.37 Mб38Б2.В.ОД.1Физика2.pdf
#
28.03.20161.1 Mб40Б2.В.ОД.6 Дополнительные главы математического анализа.pdf
#
28.03.20161.06 Mб22Б2.В.ОД.7 Дискретная математика.pdf
#
28.03.20161.35 Mб23Б3.Б.2 ЭВМ и периферийные устройства.pdf
#
28.03.20161.59 Mб21Б3.Б.5 Основы объектно-ориентированного программирования.pdf
#
28.03.20162.2 Mб146Барраль Висцеральные манипуляции I.pdf
#
21.08.20191.22 Mб3Безопасное прохождение поворотов.doc