свободы, при дальнейшем повышении температуры, когда kT Екол , возбуждаются

колебательные степени свободы. Соответственно теплоемкость газов будет увеличиваться с увеличением температуры, достигая максимума, когда возбуждены все степени свободы.

§12. Процессы релаксации. Локальное равновесие

Полученные результаты относятся к равновесному состоянию вещества, когда средняя энергия и концентрация, соответственно давление постоянна по объёму и не изменяется во времени. Такое состояние называется состоянием термодинамического равновесия. Учитывая хаотическое движение молекул, их число и энергия в некотором небольшом выделенном объёме будет то больше, то меньше их средних значений. Это явление называют флуктуацией. Величина флуктуации естественно будет зависеть от числа частиц в выделенном объёме. Так если в нашем объёме всего две частицы, они с равной вероятностью могут быть обнаружены в той или другой половинке объёма. В итоге равновесное распределение, когда частицы распределены равномерно по объёму будет

иметь вероятность W = 12 (рис.8)

Рис. 8. Возможные случаи распределения двух молекул по половинкам объема

Для четырех частиц неравномерность распределения по объёму проявиться значительно меньше. Учитывая огромное количество частиц в термодинамических системах, напомним, что при нормальных условиях моль газа занимает около 22 литров и

Если в какой либо точке рассматриваемой системы мы изменим равновесное значение Т, р или n начнется процесс выравнивания возмущенного параметра – так называемый процесс релаксации т.е приход системы к новым равновесным значениям и через некоторое характерное время , называемое временем релаксации система неизбежно придет к новому равновесному состоянию. Эта неизбежность связана с тем, что при заданной полной энергии системы, равновесное состояние имеет значительно более высокую вероятность. Время релаксации не очень чётко определённый параметр. Обычно имеют ввиду время, через которое неравновесный параметр отличается от равновесного

значения на какую-то небольшую величину 1%, 1e и.т.д. Время релаксации для различных

параметров меняется в широких пределах для выравнивания давления доли секунды, выравнивание концентрации примесных ароматических молекул з счет диффузии часы.

Локальное равновесие

26

значение n, и считая изменение температуры на длине пробега небольшим использовали среднее значение скорости соответствующее температуре на нашей вспомогательной плоскости

объёме. Получается, что теплопроводность газов не зависит от давления. Действительно произведение n = n n 2 не зависит от концентрации частиц, соответственно при заданной

температуре от давления. Получается, что мы зря откачиваем воздух из пространства между стенками термоса, теплопроводность воздуха не меняется. Это действительно так пока длина пробега молекул меньше расстояния между стенками. Когда длина пробега становится равна расстоянию между стенками, дальнейшая откачка приводит к уменьшению n , а длина пробега больше увеличиваться не может и произведение n начинает уменьшаться линейно с давлением. (рис 9)

Рис. 9. Зависимость теплопроводности газа от давления (P)б между двумя стенками, расположенными на расстоянии d

Для расстояния между стенками около одного сантиметра это произойдет при давлении примерно 5*10-3 мм.рт.ст. но тепловой поток будет примерно таким же что и у не откачанного термоса. Получается, что для того чтобы в откачке был прок, нужно откачивать до давлений порядка 10-5 – 10-6 мм.рт.ст. Поэтому плохо откачанный термос будет остывать также быстро, что и не откачанный.

Полученные нами соотношения имеют в силу сделанных предположений приближенный характер, хотя и отражают основные закономерности. Прежде всего заметим что теплопроводность зависит от температуры газа и массы газа, поскольку в полученный нами коэффициент теплопроводности входит средняя скорость зависящая от

28

т.е. TT 1этой зависимостью можно пренебречь взяв среднюю температуру между

стенками. Но если стенки имеют форму цилиндров или сферических поверхностей основной градиент температур будет у внутренней стенки и потребуется более точный расчет с использованием уравнения теплопроводности, что мы сделаем позже. В случае плотных газов в замкнутом объёме, между двумя вертикальными, нагретыми до разных температур поверхностями возникает конвекционный поток. У стенки с высокой температурой газ поднимается вверх из-за меньшей плотности, у холодной остывая, опускается вниз. Это приводит к циркуляции газа между стенками и к значительно более интенсивному теплообмену по сравнению с рассмотренным случаем. При низких давлениях конвекция не развивается, но поток от горячей стенки будет больше потока от холодной т.к.

v у горячей стенки выше. Это приведет к перераспределению концентраций, у горячей стенки концентрация будет ниже, чем у холодной так чтобы потоки молекул

пропорциональные nv сравнялись.

Теплопроводность газов мала см таблицу 3, именно поэтому тепло сохраняют пуховики, пенопласт и прочие аналогичные утеплители. Тепло сохраняет газ, ворс пуховиков и ячейки пенопласта не дают развиваться конвекции. Зависимость теплопроводности от массы молекул приводит к тому, что теплопроводность аргона почти на порядок ниже теплопроводности водорода, однако от воздуха отличается в 1,5 раза, поэтому наполнение стеклопакетов пластиковых окон аргоном больше рекламный ход.

Механизмы возникновения вязкости в газообразном и жидком состоянии сильно отличаются, но в обоих случаях, при возникновении градиента скорости в направлении ортогональном потоку (ось z) возникает тангенциальная сила, препятствующая развитию градиента скорости. Величина этой силы на единицу площади скользящих друг относительно друга слоёв пропорциональна градиенту скорости, коэффициент пропорциональности называют коэффициентом вязкости – закон Ньютона.

FS dudz

Рассмотрим механизм возникновения вязкости в газах. В достаточно разреженных газах, когда длина свободного пробега значительно больше размеров молекул, их взаимодействие друг с другом осуществляется при столкновениях. Рассмотрим модельную ситуацию, когда относительно бесконечной плоскости движется параллельно ей вторая плоскость, расстоянии z0, со скоростью U0, вдоль оси x. Пространство между плоскостями заполнено газом, возникнут потоки газа вдоль оси x, за счет взаимодействия молекул газа с плоскостями, скорость потока при z = 0, будет нулевой, при z=z0 будет U0 . Таким образом скорость направленного движения слоев газа будет нарастать от нижней к верхней плоскости. Рис.10

29

соответственно м2 .

сек.

Диффузия

В процессе хаотического движения молекула постепенно смещается из первоначального положения. Это приводит к тому, что даже в неподвижном воздухе молекулы ароматических веществ, помещенные в одном месте постепенно занимают весь объем и мы начинаем ощущать запах. Понятно, что результирующие диффузионные потоки будут

связаны с градиентом концентрации, опыт показывает что поток j = - D dndx в общем случае

пропорционален градиенту концентрации j = - D grad n –закон Фика. Коэффициент пропорциональности D называют коэффициентом диффузии. Найдём этот коэффициент при диффузии в газах. Предположим, что вдоль оси х концентрация молекул примесного газа уменьшается. Рассмотрим поток молекул через некоторую плоскость ортогональную оси х. Последнее столкновение молекулы испытывают на расстоянии длины свободного пробега от данной плоскости. Результирующий поток молекул вдоль оси х j+ b в обратном

Оценим время выравнивания концентрации при диффузии используя метод размерностей. Время выравнивания не может зависеть от концентрации т.к. возникающий поток пропорционален концентрации. Пусть L характерный размер области с неоднородной концентрацией частиц коэффициент диффузии которых D. Из этих величин можно

которое распространятся частицы в процессе диффузии. Такая зависимость подтверждается в опытах, например при смещении броуновской частицы в процессе её хаотического движения.

Завершая раздел связанный с явлениями переноса рассмотрим два полезных примера использующих полученные закономерности.

Найдем связь объёмного расхода вязкой жидкости при течении через трубу, с её размерами и перепадом давления на концах трубы. Пусть на концах трубы длиной L, радиуса R давление Р1 и Р2 , при этом Р1 > Р2. За счет этого перепада давлений возникает течение вязкой жидкости, так называемое течение Пуазейля. В стационарном режиме перепад давлений уравновешивается силами вязкого трения.

31

Найдем температуру кристалла микропроцессора выделяющего мощность W, который через подложку микросхемы теплопроводностью , толщиной d, соединен с

радиатором охлаждения с температурой T0. (рис 12)

Рис. 12. К расчету температуры микросхемы процессора

В стационарном режиме полный тепловой поток должен равняться выделяемой мощности j*S =W. Решение уравнение теплопроводности

33