2.1.Параллельные машины.Модель.Сложность
.pdfКурс Основы теории расписаний |
05/19 |
Система с параллельными машинами. Описание модели. Сложность задач
Тахонов Иван Иванович
Новосибирский государственный университет Механико-математический факультет
ÍÃÓ, 2015
Описание модели Сложность задач Неаппроксимируемость
Описание модели
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели Сложность задач Неаппроксимируемость
Описание модели
J tJ1; : : : ; Jnu множество работ (из одной операции),
M tM1; : : : ; Mmu множество машин,
pij время выполнения работы Jj на машине Mi,
м. б. заданы wj (âåñà), rj (времена поступления) и т. д.,
м. б. допустимы прерывания работ,
на множестве работ м. б. задан част. порядок: G pJ ; Aqбесконтурный орграф.
Критерии:
Cmax длина расписания (уже не так тривиально, как в одномашинных задачах),
°
wjCj взвешенное суммарное (среднее) время нахождения работ в системе.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели Сложность задач Неаппроксимируемость
В зависимости от того, как длительности работ pij зависят от машин, выделяют несколько типов окружения:
Идентичные машины (P). Длительность выполнения Jj íà âñåõ машинах одинакова: pij pj äëÿ âñåõ i è j.
Машины с различным быстродействием / Uniform Machines
(Q). Для каждой машины Mi известна ее производительность
si è pij psji .
Unrelated Machines (R). Время выполнения Jj íà Mi индивидуально и равно pij.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
|
Сложность задач |
||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Сложность задач
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
|
Сложность задач |
||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Теорема 1
Задача P 2||Cmax является NP-сложной.
Доказательство. Сведением задачи Разбиение .
Вопрос: существует ли S € A°: |
S aj b? |
||
Äàíî: A ta1; : : : ; anu € N, |
|
A aj 2b, ãäå b P N. |
|
|
|
|
° |
Эта задача NP-полна [Гэри, |
|
||
|
|
Джонсон]. |
По примеру Разбиения построим пример P 2||Cmax ¤ Y с параметрами:
n работ, pj aj (äëÿ âñåõ j ¤ n) è Y b.
Очевидно, допустимое расписание существует в том и только том случае, когда существует разбиение.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
|
Сложность задач |
||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Теорема 2
Задача P ||Cmax является NP-сложной в сильном смысле.
Доказательство. Сведением 3-Разбиения . Дано: множество
3t
°
A ta1; : : : ; a3tu € N, aj tb, ãäå b P N, âñå aj P pb{4; b{2q.
j 1
Вопрос: существует ли разбиение A на t троек веса b?
По примеру 3Разб построим следующий пример P ||Cmax ¤ Y :
3t работ, t машин, pj aj (j 1; : : : ; 3t), Y b.
Очевидно, расписанию длины b соответствует 3-разбиение. И наоборот.
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
|
Сложность задач |
||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Замечание 1
Задача P m||Cmax не является сложной в сильном смысле и может быть решена с псевдополиномиальной трудоемкостью.
Замечание 2
Задача P pmq|prmp|Cmax полиномиально разрешима.
Теорема 3
Задача P 2|chains|Cmax является NP-сложной в сильном смысле.
[Du, Leung, Young. Scheduling chain-structured tasks to minimize makespan and mean ow time// Inform. and Comput., 92(2):219-236, 1991.]
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
|
Сложность задач |
||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Теорема 4
°
Задача P 2|| wjCj является NP-сложной.
Доказательство. Сведением Разбиения . Построим пример
°
P 2|| wjCj ¤ Y с параметрами:
n
n работ, pj wj aj, Y b2 12 ° a2j .
j 1
Пусть для этой задачи существует допустимое расписание . Покажем, что существует разбиение. Обозначим:
Ji множество работ, вып. на Mi (i 1; 2),
°
Fip q wjCjp q вклад Mi â ö.ô.,
Jj PJi
F p q F1p q F2p q значение ц.ф. для расп. .
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|
Описание модели |
Минимизация длины расписания |
|
Сложность задач |
||
Суммарное взвешенное время прохождения работ |
||
Неаппроксимируемость |
||
|
||
|
|
Вычислим значение целевой функции:
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
¸ |
|
F1p q wp1qpp1q wp2qppp1q pp2qq wprq |
ppkq |
||||||
|
|
|
|
|
|
k 1 |
|
r |
|
k |
r |
|
|
|
r |
¸ |
apkq |
¸ |
¸ |
|
|
|
¸ |
|
apjq |
apkqapjqIpj ¤ kq |
apkqapjqIpj ¥ kq: |
||||
k 1 |
|
j 1 |
k;j 1 |
|
|
|
k;j 1 |
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
2F1p q |
¸ |
apkqapjq pIpj ¤ kq Ipj ¥ kqq |
|
||||
|
|
||||||
|
k;j 1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
apkqapjq ap2kq |
|
ap2kq |
|||
r |
r |
apkq |
|||||
|
|
r |
|
|
r |
||
|
¸ |
|
¸ |
|
¸ |
|
¸ |
|
k;j 1 |
k 1 |
|
k 1 |
|
k 1 |
2
¸¸
ak a2k:
JkPJ1 JkPJ1
Тахонов Иван Иванович |
Параллельные машины. Модель. Сложность |
|
|