4_ Коммивояжер

Задача о назначениях

0.Выделить в каждой строке min элемент. Сосчитать столбцы с - минимальными элементами, если все, то STOP.

1.Выберем столбец без -основы и обозначим его S1.

2.Увеличим S1 на максимальное так, чтобы все -минимальные элементы остались -минимальными. Получим для строки i1 новый-минимальный элемент ci1S1 — альтернативная основа для строки i1.

3.Для строки i1 столбец j(i1) с -основой пометим меткой S2.

4.Увеличим S1 и S2 на максимальное так, чтобы все -основы остались -минимальными элементами. Найдем новую альтернативную основу в одном из столбцов S1 или S2. Пусть она оказалась в строке i2. Пометим столбец j(i2) меткой S3 и будем продолжать этот процесс до тех пор пока не встретим столбец с двумя или более основами.

5.Произведем замену основ, начиная со строки, где лежит последняя альтернативная основа (строка ik).

Эвристические алгоритмы построения допустимого решения

Алгоритм АБ «Иди в ближайший из непройденных городов»

1.Выбираем произвольный город i1.

2.Находим ближайший город к i1, обозначаем его i2 и помечаем город

i1:

ci1i2 min ci1 j . j i1

3.На k-м шаге находим ближайший город к ik, обозначаем его ik+1 и помечаем город ik :

Теорема 4. Для любого r > 1 найдется пример I задачи коммивояжера такой, что

AБ(I) r OPT(I)

даже при условии, что cij cik + ckj, для всех 1 i, j, k n.

Трудный пример для алгоритма АБ

Имеется 15 городов, расположенных на окружности длиной 15 единиц,

Алгоритм с гарантированной точностью для Евклидовой задачи

Остовное дерево. Дан связный граф G = (V, E), каждому ребру e E приписан вес we 0. Найти в G остовное дерево с минимальным суммарным весом ребер.

Алгоритм Краcкала AK дает точное решение задачи и нижнюю оценку для задачи коммивояжера:

AK(I) OPT(I).

Двойной обход остовного дерева

Обходим остовное дерево по правилу алгоритма «Поиск в глубину». Получаем маршрут, проходящий через все вершины. Листья посещаются один раз, но внутренние вершины посещаются несколько раз.

Перестройка остовного дерева

Движемся вдоль стрелок и помечаем вершины. Если очередная вершина уже помечена, то пропускаем ее и двигаемся дальше, пока не найдем непомеченную вершину или не вернемся в первую вершину. Цепочку дуг для помеченных вершин заменяем прямой дугой в непомеченную или первую вершину.

Оценка точности алгоритма

Теорема 5. Если матрица (cij) удовлетворяет неравенству треугольника, то алгоритм перестройки двойного обхода остовного дерева AST получает Гамильтонов цикл не более чем в 2 раза хуже оптимального для любого примера I задачи коммивояжера, то есть

AST (I) 2 OPT(I).

Доказательство. Для длины двойного обхода имеем

2 AK (I) 2 OPT(I).

Пусть новое ребро e, не содержащееся в двойном обходе, заменяет цепочку ребер {e1, e2,…, ek}. Из неравенства треугольника следует, что

k

we wei ,

i 1

то есть AST (I) 2 AK (I) 2 OPT(I).

Теорема 6. Полученная оценка точности

AST (I) 2 OPT(I)

является неулучшаемой.

Доказательство. Приведем пример семейства исходных данных задачи коммивояжера, на котором оценка 2 достигается асимптотически.

Рассмотрим следующий пример на полного графа с n вершинами, вес толстых ребер равен 1, остальных – 2. Вес оптимального решения n:

Для этого примера минимальное остовное дерево имеет вид:

Алгоритм перестройки двойного обхода может получить решение:

Длина этого Гамильтонова цикла AST 2n -2 Оптимальное решение задачи OPT(I) n

Таким образом, при n получаем AST (I) / OPT(I) 2.