Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

ально-экономическое, гуманитарное, технологическое и др. [258]. Выбор профиля обучения для учащегося является важным шагом к дальнейшему профессиональному определению, и этот выбор должен быть максимально осознанным, неслучайным и адекватным.

В 2002 году в ходе модернизации школьного образования была при-

нята Концепция профильного обучения на старшей ступени общего обра-

зования7. В этом документе дается краткая характеристика новых форм учебного процесса: курсов по выбору и элективных курсов. Следуя этому документу, основная функция курсов по выбору, проводимых на основной ступени общего образования, – профориентационная. Содержание таких курсов направлено на оказание помощи школьнику в определении своих склонностей, в выборе дальнейшего профиля обучения. Поэтому для охва-

та большего спектра профилей они, как правило, носят краткосрочный и чередующийся характер, являются учебными модулями.

Например, для ориентации на естественно-математический профиль возможно организовать для девятиклассников курс по выбору прикладной направленности «Беседы об угле зрения», связанный с изучением плани-

метрии и состоящий из следующих модулей-бесед: 1. Что мы видим? Поле зрения и его границы. 2. Как увидеть собственный нос? 3. Что такое угол зрения? 4. Геометрия помогает проверить остроту зрения. 5. Под одним углом зрения. 6. Что такое параллакс? 7. Геометрия разоблачает обманы зрения. 8. Зачем фотографу геометрия? Рассматриваемые в этом курсе во-

просы не требуют повышенной математической подготовки и доступны большинству школьников. Учащимся понадобятся некоторые сведения из биологии и физики, которые к этому времени им известны из соответст-

вующих школьных дисциплин. Одна из целей такой внеклассной работы состоит в том, чтобы показать применение знаний, полученных на уроках геометрии по программе базового курса, к исследованию и объяснению некоторых механизмов зрения.

7 Приказ Министерства образования РФ №2783 от 18.07.2002

211

Содержание курса по выбору может и выходить за рамки базового курса геометрии. Примером темы для такого курса является тема, связан-

ная с изучением золотой пропорции и ее применения в архитектуре, искус-

стве, музыке и окружающей природе.

Общий подход к разработке содержания внеклассных занятий курсов по выбору и элективных курсов прикладной направленности сформирован нами на основе анализа соответствующей учебно-методической литерату-

ры и предполагает включение:

–исторических сведений по возникновению и постановке проблемы из какой-либо научной области, и роли математики в ее разрешении;

–сведений об ученых, занимавшихся решением научных проблем в выбранной области средствами математики;

–демонстрации применения результатов научной (математической)

деятельности в решении проблем практической, хозяйственной деятельно-

сти человека.

Элективные курсы входят в состав профиля обучения на старшей ступени школы, являются обязательными для учащихся и выполняют две основные функции:

– служат для углубления и расширения изучения основных профиль-

ных предметов на заданном профильным стандартом уровне;

– предназначены для внутри профильной специализации обучения и для построения индивидуальных образовательных траекторий.

Так, элективный курс по геометрии «Многогранники» [295] выпол-

няет обе функции: поддерживает изучение профильного предмета «Мате-

матика» и может быть использован и для построения индивидуальных об-

разовательных траекторий.

Проведенный нами анализ учебно-методической литературы пока-

зал, что основными тематическим направлениями содержания элективных курсов по математике в настоящее время являются: 1. Подготовка к реше-

нию задач ЕГЭ. 2. Углубление и расширение основного курса математики.

212

3. Вопросы приложений математики в школе. 4. Историко-культурные ас-

пекты математической науки.

Учебные исследования по математике. В современном мире крайне важно обладать навыками самостоятельного получения новых знаний, ин-

формации и их применения. Такие навыки учащиеся могут приобрести в процессе проведения учебных исследований по математике. Именно эта форма обучения предполагает наибольшую самостоятельность учебной дея-

тельности. Проводя исследование, школьники приобретают навыки, кото-

рые, будут им полезны в любой области профессиональной деятельности.

К исследовательской деятельности учащихся относят учебную дея-

тельность, связанную с решением задач с неизвестным заранее результа-

том или решением [88]. Как указывалось ранее, организация учебного ис-

следования требует прохождения следующих этапов: 1. Постановка про-

блемы. 2. Изучение соответствующей теории, сбор материала по про-

блеме исследования. 3. Выдвижение гипотезы и подбор методов проведе-

ния исследования. 4. Анализ и обобщение собранного материала, выводы.

5. Представление результатов исследования [129].

Выбор тем исследований по математике осуществляется учителем в зависимости от интересов и способностей учащегося. Они могут быть на-

правлены на углубленное изучение отдельных вопросов («Несколько пря-

мых, проходящих через точку Фейербаха», «Обобщенное уравнение Эйле-

ра» – темы исследований учащихся СУНЦ МГУ), носить общекультурный,

исторический характер («Отец современной алгебры Ф. Виет», «Матема-

тика Древней Греции и Индии»), а также связаны с изучением приложений математики («Винтовые линии и спирали в природе и технике», «Теория математического бильярда и ее практические приложения»). Однако для большинства учащихся работа над темой исследования превращается в пе-

реписывание текстов из различных источников информации. При попытке задать вопрос по существу учитель часто сталкивается либо с полным не-

пониманием учеником изучаемой проблемы, либо с довольно поверхност-

213

ными представлениями о предмете обсуждения. Понятно, что такая учеб-

ная работа выполнена формально школьником и не принесла никакой пользы ее исполнителю.

Одним из способов преодоления такой ситуации является составле-

ние учителем для учащегося системы вопросов по теме исследования, оп-

ределяющей направление деятельности ученика. Приведем пример таких вопросов к исследовательской работе учащихся, связанной с изучением ее приложений и иллюстрирующий такую профессиональную деятельность учителя. Тема этого учебного исследования – «Геометрия и механизмы зрения». Вопросы, на которые должны ответить учащиеся в ходе исследо-

вания: 1. Каковы границы поля зрения человека? 2. Чем отличается поле зрения человека и животных? 3. Что такое угол зрения? 4. От чего зависит угловой размер предмета? 5. Как геометрия помогает проверить остроту зрения? 6. Как находят линейные размеры предметов с помощью угла зре-

ния? 7. Что такое параллакс?

Каждый такой вопрос порождает еще блок вопросов, предлагаемых учащимися по мере исследования ими темы. Так, на этапе работы с ин-

формационными источниками возможна такая помощь и участие учителя.

Помимо общих рекомендаций по сбору фактического материала, учителю необходимо научить школьника понимать прочитанное. Как известно, ра-

бота с текстом – первый исследовательский навык, который приобретает ученик. Приведем пример обучения работе с текстом, подобранным к от-

вету на вопрос о параллаксе. В левом столбце табл. 2 дан текст, составлен-

ный нами на основе содержания соответствующего раздела школьного учебника астрономии [55]. В правом столбце к отдельным частям текста сформулированы вопросы, направленные на изучение геометрической со-

ставляющей излагаемого материала и выявления геометрического смысла понятия параллакса.

214

Таблица 2

Что такое параллакс?

215

Работа учащихся с таким текстом, заключенным в таблицу и сопро-

вожденным вопросами и заданиями, занимает довольно много учебного времени. В тоже время составление учащимися ответов на вопросы по ка-

ждому фрагменту практически гарантирует понимание ими прочитанного.

Такая кропотливая работа над текстом по силам не каждому учащемуся.

Время, затраченное на прочтение текста и объем выполненных заданий по-

зволяет учителю косвенно оценить исследовательские навыки учащегося,

его интерес к исследуемой теме.

Таким образом, в процессе выполнения исследования на втором эта-

пе учащиеся имеют возможность применять хотя бы на интуитивном уровне элементы метода математического моделирования, связанные с ма-

тематизацией реальных объектов. Основной обучающий эффект такой учебной работы состоит в возможности осмысленного, нешаблонного применения учащимися геометрических знаний для изучения закономер-

ностей окружающего мира.

Кроме того, при таком подходе к организации учебного исследова-

ния имеется возможность формирования навыков работы с научным тек-

стом. В приведенном выше примере формируется способность школьни-

ков к смысловому чтению.

Проектная деятельность по математике. Проектная деятельность учащихся – одна из активно используемых форм обучения в современной школе. Но в методической литературе еще не сформировано единых пред-

ставлений о структуре, формах, методике организации такой деятельности школьников. На основе анализа учебно-методической литературы, нами выявлено три формы учебного проекта: монопредметный, межпредмет-

ный и над предметный [12, 11, 216, 183, 248 и др.].

Из их названий понятно, что монопредметный проект выполняется в рамках одного учебного предмета, межпредметный – предполагает ис-

пользование знаний по двум и более предметам, над предметный (вне

216

предметный) проект выполняется на стыках областей знаний и выходит за рамки школьных предметов. Проектная деятельность учащихся является дополнением к учебной деятельности и носит либо прикладной, либо ис-

следовательский характер. В рамках нашего исследования для конструиро-

вания методической системы подготовки учителя к практико-

ориентированному обучению математике в школе представляют интерес учебные проекты всех трех форм, имеющие прикладное содержание.

Итак, в этой части исследования на основе имеющихся методических исследований нами обобщены классификационные признаки задач на при-

ложения: по постановке задачи; по области приложений математики; по математическим методам решения; по сложности математизации усло-

вия задачи; по назначению в обучении; по способу представления; по пол-

ноте данных.

Представленная нами система классификаций отвечает на вопрос о форме и содержании задач на приложения и позволяет определить назна-

чение таких задач в учебном процессе. Выделенные классификационные признаки позволяют дать методическую характеристику задаче на при-

ложения. Такую характеристику мы называем методическим паспортом задачи. В разрабатываемой методической системе подготовки учителя предполагается уделить специальное внимание обучению классификации задач на приложения. Составление методического паспорта задачи – одно из обязательных заданий в такой подготовке.

В настоящее время при формировании понятий в обучении матема-

тике в школе сложилась практика использования задач по пяти основным направлениям: 1) актуализация знаний и умений, необходимых для усвое-

ния понятия; 2) мотивация изучения понятия; 3) распознавание понятия; 4) применение понятия; 5) включение нового понятия в систему известных понятий. Нами раскрыты особенности методики работы с задачами на приложения по каждому из перечисленных направлений на уроках геомет-

рии в основной школе. Продолжить обучение практическим приложениям

217

математики в школе, начатое на уроках, необходимо и возможно во вне-

классной работе: на элективных курсах и курсах по выбору, при организа-

ции учебных исследований и в проектной деятельности школьников.

Сделанные выводы и обобщения позволяют нам перейти к исследо-

ванию вопроса об идейной роли математического моделирования при реа-

лизации линии практических приложений математики в школе.

2.4. Математическое моделирование как теоретическая основа практико-ориентированного обучения математике в школе

Как показал проведенный нами анализ учебно-методической литера-

туры [190, 193, 195 и др.], в методической подготовке учителя математики практически не рассматривается вопрос об обучении школьников матема-

тическому моделированию. Также следует отметить, что в школьной прак-

тике этот метод присутствует очень ограничено. Как уже указывалось ра-

нее (п. 2.1.3) в ряде школьных учебников понятие математического моде-

лирования вводится на интуитивном уровне на примерах, в дальнейшем в содержании школьного курса математики это понятие практически не ис-

пользуется в явном виде. Поэтому, несмотря на имеющиеся методические исследования, связанные с обучением школьников математическому моде-

лированию ([24], [135], [167] и др.) этот вопрос в практику работы учителя так и не вошел. Однако в современных требованиях к математической под-

готовке школьников этот вопрос присутствует [328, 325]. Это означает, что учитель должен владеть методикой обучения школьников математическо-

му моделированию.

Анализ и обобщение результатов имеющихся методических иссле-

дований, их переосмысление позволит нам включить этот вопрос в содер-

жание методической системы подготовки учителя к практико-

ориентированному обучению математике в школе. Рассмотрение различ-

ных подходов к пониманию роли метода математического моделирования в обучении школьников, функций и особенностей его использования при

218

решении задач, изложенных в работах психологов, педагогов и методи-

стов, позволило нам определить значение математического моделирования при реализации линии практических приложений в практико-

ориентированном обучении математике в школе.

2.4.1.Представления о математическом моделировании в науке

ишкольной практике

Как показано ранее, процесс математизации является составной ча-

стью математического моделирования реального объекта. Поиск приложе-

ний математики, т.е., возможности решить задачу, поставленную на практике или в какой-либо научной области, математическими мето-

дами – особый вид математической деятельности. Овладение такой дея-

тельностью школьниками при изучении математики позволяет утверждать о наличии у них сформированного умения применять полученные знания к решению задач, поставленных в реальности. Но в методической подготов-

ке учителя вопрос о методике формирования подобного умения почти не рассматривается ни на уровне теоретических представлений, ни на уровне практической реализации. Знакомство с методом математического моде-

лирования происходит только в математической подготовке студентов в контексте изучаемых дисциплин. Но это не дает возможности прямого переноса полученных сведений в теорию и методику обучения школьной математике.

Выделим общекультурную составляющую представлений о мате-

матическом моделировании, которой необходимо владеть учителю мате-

матики.

Резюмируем имеющиеся в науке общие представления о моделиро-

вании. Термин «модель» широко используется не только в математике, но в других науках и практических областях деятельности. «Модель» проис-

ходит от латинского «modelus», что означает мера, мерило, образец, норма.

219

Согласно энциклопедическому словарю, модель – это любой образ, аналог

(условный или мысленно представляемый) какого-либо объекта, который в процессе исследования его замещает [35, с.744]. Здесь термин «объект» понимается в широком смысле: объектом может быть не только физическое тело (предмет), но и любые реальная ситуация, явление, процесс. Там же дано наиболее общее понятие о моделировании. Моделирование – это ис-

следование каких-либо явлений, процессов или систем объектов путем по-

строения и изучения их моделей. Моделирование также подразумевает и применение построенных моделей для создания новых объектов с заданны-

ми характеристиками, рационализации способов их построения [35, с.744].

Относительно обучения, Л.М. Фридман понимает моделирование как метод опосредованного познания со следующим перечнем целей:

1) замена исходного объекта в некотором мысленном (воображае-

мом) или реальном действии (процессе), исходя из того, что использовать объект, подобный исходному, более удобно для этого действия в данных условиях (модель-заместитель);

2) создание представления об исходном объекте (реально сущест-

вующем или воображаемом) с помощью объекта-аналога (модель-

представление);

3) истолкование (интерпретация) исходного объекта в виде объекта-

аналога (модель-интерпретация);

4) исследование (изучение) исходного объекта с помощью объекта-

аналога, посредством изучения объекта-аналога (модель исследователь-

ская) [332, с.19].

Моделирование автор рассматривает как особую деятельность по по-

строению (выбору или конструированию) моделей для указанных выше целей. Существенным для нашего исследования является указание автора на то, что моделирование как психическая деятельность может включаться в качестве компонента в такие процессы, как восприятие, представление,

память, воображение и, конечно, мышление.

220