Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

ческого применения. Также задачи на приложения могут мотивировать учащихся к занятиям определенным родом деятельности (в том числе и математической), причем впоследствии это может стать их профессией или долговременным увлечением. Такова, например, следующая задача,

посвященная игре на бильярде. Идея постановки задачи заимствована нами из пособия для обучения этой игре [223]. В силу ряда условий для трени-

ровки практикуется забивание одного шара, остальные не рассматривают-

ся. Поэтому в этом случае решение задачи имеет непосредственное отно-

шение к теории математического бильярда, уже мало связанной с реальной игрой. Идею решения мы заимствовали из книги Г.А. Гальперина и А.Н. Землякова «Математические бильярды» [57]. Рассмотрение этой за-

дачи возможно на внеклассных занятиях.

Работа учителя по мотивации изучения математики при решении этой задачи состоит в следующем. Ученикам предлагается ознакомиться с книгой об игре на бильярде [223], где рассматриваются различные вариан-

ты забивания шаров в лузу. В ней авторами приведены «рецепты» разре-

шения различных ситуаций на бильярдном столе. Учитель поясняет учени-

кам, что в основе таких «рецептов» лежит строгая математическая теория и предлагает обосновать математически один из таких «рецептов». Далее одна из бильярдных ситуаций формулируется учителем в виде задачи:

 Любой бильярдный стол имеет прямоугольную форму с постоян-

ным отношением его длины к ширине – 1:2. На нем имеется шесть луз,

они расположены по углам и в середине длинных сторон бильярдного сто-

ла. Пусть забиваемый шар расположен около лузы F на расстоянии, рав-

ном 1/3 длины отрезка ЕF, соединяющего центры средних луз. Направле-

ние удара показано стрелкой. Найдите такую точку прицеливания (точку первого удара о борт), чтобы шар трижды ударился о борта ВЕ, ВD и DF, после чего упал в лузу Е (рис. 14). Постройте траекторию движения шара.

181

Р1

C F D

Рис. 14

В основе решения задачи лежит «бильярдный» закон абсолютно уп-

ругого отражения: «угол падения равен углу отражения». Учитель выслу-

шивает предложения учащихся по решению этой задачи и предлагает изу-

чить раздел о геометрии прямоугольного бильярда из книги Г.А. Гальпе-

рина и А.Н. Землякова «Математические бильярды» [57, с.100]. Таким об-

разом учитель создает у школьников мотивацию для первоначальных по-

пыток самостоятельного поиска решения задачи через изучение новой для них математической теории. В результате предлагаемой нами методиче-

ской работы учителя, учащиеся должны прийти к следующему решению:

Анализ. Траектория движения бильярдного шара представляет собой ломаную линию. С помощью процедуры «выпрямления траекторий» мы сможем ответить на вопросы задачи.

Суть этой процедуры состоит в следующем. Допустим, что нам из-

вестна траектория движения шара – это ломаная Р1Р2Р3Р4Е. По условию задачи она лежит внутри квадрата ЕВDF. Построим по этой ломаной спе-

циальную прямую (рис. 15). А именно отразим квадрат ЕВDF вместе с ло-

маной относительно стороны квадрата ЕВ, на которой, по условию, лежит точка Р2 (первое звено ломаной Р1Р2 мы не трогаем). Согласно закону от-

ражения, отрезок Р2Р/3, симметричный отрезку Р2Р3, является продолжени-

ем отрезка Р1Р2 и первый кусок ломаной Р1Р2Р3Р4Е – Р1Р2Р3 выпрямлен.

182

Теперь отразим второй полученный нами квадрат относительно той его стороны, на которой лежит следующая точка излома Р/3. Получим сле-

дующий квадрат и образ звена Р/3Р/4, который будет продолжением отрезка

Р1Р2Р/3Р/4. Продолжая так и далее, получим образ последнего звена лома-

ной Р/4Е// и отрезок специальной прямой Р1Р2Р/3Р/4Е//, который «выпрямил» исходную ломаную.

Р1

Рис. 15

Допустим, что траектория движения шара известна, т.е. известно по-

ложение точек Р1, Р2, Р3, Р4, Е. Но из условия известно положение точки начала Р1 и конца Е траектории, а также те борта, которых коснется шар.

Этого достаточно, чтобы провести процедуру «выпрямления траектории» Построив отрезок специальной прямой, а затем, совершив «обратные» по-

строения, возможно восстановить вид ломаной (траекторию движения ша-

ра) и найти точку прицеливания.

Построение (рис. 16).

1.Построить прямоугольник АВСD с отношением сторон 1:2.

2.Построить середины сторон АВ и СD – точки Е и F.

3.Построить точку Р1, так, чтобы FР1: Р1Е=1:3

183

Р1 Р3

Рис. 16

4. Построить квадрат ВЕF/D/, симметричный квадрату ВЕFD отно-

сительно стороны ВЕ: продолжить сторону ВD за точку В и отложить отре-

зок ВD/, равный ВD, достроить квадрат.

5. Построить квадрат ВЕ/F//D/, симметричный квадрату ВЕF/D/ отно-

сительно стороны ВD/: продолжить сторону F/D/ за точку D/ и отложить от-

резок F//D/, равный F/D/, достроить квадрат.

6. Построить квадрат В/Е//F//D/, симметричный квадрату ВЕ/F//D/ от-

носительно стороны F//D/: продолжить сторону ВD/ за точку D/ и отложить отрезок В/D/, равный ВD/.

7. Соединить точки Р1 и Е//.

Таким образом, получен отрезок Р1Е//, который является «выпрямле-

нием» траектории движения шара. Отметим точки пересечения отрезка со сторонами построенных квадратов: Р2, Р/3, Р/4 и проведем «обратные» по-

строения.

8. Построить отрезок, симметричный отрезку Р/4Е// относительно стороны F//D/ квадрата В/Е//F//D/. При преобразовании симметрии образом точки Р/4 будет сама эта точка, т.к. она лежит на оси симметрии. Образом точки Е// будет точка Е/. Соединим точки Р/4 и Е/, получим отрезок Р/4 Е/.

184

9.Аналогично построим образы отрезков Р/3Р/4 и Р/4Е/ путем выполнения преобразования симметрии относительно ВD/. Получим соответственно отрезки Р/3Р и РЕ.

10.Таким же образом построим образы отрезков РЕ, Р/3Р и Р2Р/3. По-

лучим отрезки Р4Е, Р3Р4, Р2Р3.

11.Построить отрезок, симметричный отрезку Р/4Е// относительно стороны F//D/ квадрата В/Е//F//D/. При преобразовании симметрии образом точки Р/4 будет сама эта точка, т.к. она лежит на оси симметрии. Образом точки Е// будет точка Е/. Соединим точки Р/4 и Е/, получим отрезок Р/4 Е/.

12.Аналогично построим образы отрезков Р/3Р/4 и Р/4Е/ путем преоб-

разования симметрии относительно ВD/. Получим соответственно отрезки

Р/3Р и РЕ.

13.Таким же способом построим образы отрезков РЕ, Р/3Р и Р2Р/3. Получим отрезки Р4Е, Р3Р4, Р2Р3.

Доказательство. Ломаная Р1Р2Р3Р4Е является траекторией движения бильярдного шара, т.к. по построению ЕР2Р1= ВР2Р3; ВР3Р2= DР3Р4;

DР4Р3== ЕР4F. Найдем положение Р2 – точки прицеливания. Для этого вычислим, например, длину отрезка Р2В.

Воспользуемся рис. 16, внеся в него нужные изменения. На нем оставим построенные нами ранее систему квадратов и отрезок Р1Е//, удалим обозначения точек, которыми не будем пользоваться. Дополнительно достроим еще один квадрат и проведем прямую Р1К параллельно DF

(рис. 17). Рассмотрим Р1Е//К и Р2Е//Е/. Легко видеть, что они подобны по двум углам: Р1КЕ//= Р2Е/Е//=900; Е// – общий. Из подобия треугольников следует подобие сторон. Примем длину стороны квадрата за

единицу, тогда Р1К=2; КЕ//=2 23 (учитывая, что по условию Р1F= 13 );

Е/Е//=2. Найдем сторону Р2Е/. Запишем пропорцию: Р1К: Р2Е/= КЕ//: Е/Е// или 2:Х=2 23 :2. Отсюда Х= 23 , т.е. Р2Е/= 23 . Но Р2Е/= Р2В+ВЕ/; учитывая,

что ВЕ/=1, как сторона квадрата, получим: Р2В= Р2Е/ – Р2Е/= 12 .

185

Это означает, что игрок должен прицеливаться для удара по биль-

ярдному шару в центр той части борта, которая расположена между лузами

Е и В.

Мотивируя дальнейшее изучение теории математических бильярдов,

учитель может предложить изменить первоначальные условия задачи (по-

ложение забиваемого шара), проверить предложенный метод решения в теории и на практике. Учитель также может продемонстрировать другие задачи (о переливании жидкости, об освещении зеркальных комнат, об ос-

циллографе и т.д.), для решения которых учащимся необходимо продол-

жить изучение теории математических бильярдов.

Е//

Рис. 17

4. Формирование мировоззрения.

Под мировоззрением, как пишет Б.В. Гнеденко, принято понимать систему идеалов, принципов, философских, научных, политических, нрав-

ственных и эстетических взглядов, и убеждений человека, определяющих не только его отношение к миру, к самому себе, но и направление его дея-

тельности. По определению, данному Б.В. Гнеденко, «мировоззрение представляет собой целый комплекс представлений о реальном мире, о его

186

познаваемости, об отношении человека к труду, к другим людям, к своим обязанностям по отношению к обществу» [78, с.24].

Вслед за известными педагогами и психологами (Э.И. Моносзон,

И.Ф. Тесленко, Б.В. Гнеденко), под мировоззрением школьников будем понимать совокупность мировоззренческих идей, объясняющих сущность и законы развития природы, общества, мышления, оформленных в созна-

нии школьников в виде взглядов, убеждений, предположений, гипотез, ак-

сиом, ведущих идей и ключевых понятий той или иной науки и создающих

основу объяснения различных природных и общественных процессов,

и явлений.

Механизмы формирования мировоззрения у школьников средствами

учебных предметов изучались многими учеными (В.В. Краевский,

Н.А. Терешин, А.Л. Жохов). В работах этих и других авторов убедительно показано, что школьная математика через свою прикладную составляю-

щую может способствовать усвоению мировоззренческих идей о взаимо-

связи явлений объективного мира, о его познаваемости. Один из подходов к решению этого вопроса рассмотрен в монографии А.Л. Жохова [119].

В этой работе показано, что для усвоения различных мировоззренческих идей, а значит и для развития мировоззрения, учащиеся должны обладать рядом умений. К мировоззренческим умениям, которые могут быть приоб-

ретены в процессе обучения математике, автор относит те, которые «либо представляют обобщенные способы познания и преобразования окружаю-

щего мира, в том числе и духовного мира человека, либо активно способ-

ствуют формированию других механизмов обобщенной ориентировки че-

ловека в мире» [119, с. 34].

А.Л. Жоховым приведены конкретные мировоззренческие умения,

которые могут быть сформированы в процессе обучения математике.

Из них мы выделим следующие: «для некоторого объекта познания стро-

ить математическую модель с использованием известных знаний и средств»; «осуществлять «обратное» действие поиска различных про-

187

образов построенной модели в знакомых областях знаний или сферах дея-

тельности» [119]. Их формирование невозможно без использования в обучении математике ее практических приложений. Рассмотрим пример,

иллюстрирующий умение осуществлять «обратное» действие поиска раз-

личных прообразов математической модели в различных областях знаний или сферах деятельности.

 Доказать, что при сечении конуса плоскостью, параллельной ос-

нованию, получается сечение, площадь которого прямо пропорциональна квадрату расстояния от сечения до вершины.

Это утверждение (математическая модель) служит теоретическим объяснением зависимости между силой освещения и расстоянием от источ-

ника света (ее прообраз). Поясним это. Действительно, представим, что имеется некоторый точечный источник света (карманный фонарик). Свето-

вой поток от такого источника представляет собой конус. Направим его на некоторую поверхность, мы увидим световое пятно, которое можно считать основанием конуса. Будем удалять или приближать эту поверхность (на-

пример, кусок картона) к источнику света. Заметим, что при удалении по-

верхности на расстояние, вдвое большее от источника света, площадь све-

тового пятна увеличится в четыре раза, а количество световой энергии, при-

ходящееся на единицу площади, станет вчетверо меньшим. (Мы увидим,

что пятно станет менее ярким. А из курса физики известно, что сила осве-

щения обратно пропорциональна квадрату расстояния от источника света.)

В современной астрономии эту закономерность используют для определе-

ния расстояний до различных отдаленных объектов Вселенной. Таким обра-

зом, для построенной математической модели найден ее реальный прообраз.

Мировоззренческая функция задач на приложения обоснована тем,

что идея об общности отражения материального мира в математике рас-

крывается в содержании понятия, при изучении его свойств. Так, в опреде-

ление параллелепипеда включены свойства окружающих нас предметов,

имеющих такую форму. Зная, что объем параллелепипеда равен произве-

188

дению трех его измерений, мы сможем, например, найти объем воздуха в учебном кабинете, объем железнодорожного вагона или других предме-

тов, которыми мы пользуемся в домашнем обиходе независимо от их на-

значения, веса и т.д. Таким образом, если бы понятие «параллелепипед» не носило абстрактного характера, то для каждого предмета надо было бы иметь свою формулу для вычисления объема.

Итак, в этой части исследования нами расширено и дополнено поня-

тие задачи на приложения: Задача, связанная с практическими приложе-

ниями математики (задача на приложения), – это задача, представляю-

щая собой содержательную модель реального объекта, математическая модель которого может быть построена средствами школьного курса математики.

Нами выявлены различия между задачей на приложения и сюжетной задачей, в фабуле которой использованы реальные объекты, состоящие в степени достоверности описания этих объектов и отношений между ними.

Понятие задачи на приложения входит в содержательный компонент кон-

струируемой методической системы подготовки учителя к практико-

ориентированному обучению математике в школе. Студенты овладевают этим понятием не только на репродуктивном, но и на творческом уровне,

связанном с подбором таких задач для использования в учебном процессе согласно требуемым функциям, корректировке фабулы и математического для ее соответствия заданным методическим требованиям.

Такие методические требования к задачам на приложения математи-

ки в школе систематизированы нами разделением на две группы: требова-

ния к фабуле и к математическому содержанию.

I. Требования к фабуле задачи:

I.1. Отражение реального объекта, его свойств.

I.2. Связь математики с другими науками, практическими областями деятельности.

189

I.3. Наличие проблемы или свойств объекта, для изучения которых действительно необходимо применить математику.

I.4. Соответствие возрастным особенностям (познавательным интере-

сам, ведущему типу деятельности школьника).

I.5. Доступность фабулы для понимания учащимся: используемые не-

математические термины известны школьникам в результате изучения других дисциплин, легко определяемы или интуитивно ясны.

II. Требования к математическому содержанию задачи.

II.1. Математическая содержательность решения задачи.

II.2. Соответствие численных данных задачи, существующим на прак-

тике.

II.3. Соответствие фактических данных, сделанных допущений и уп-

рощений реальному процессу, объекту, ситуации, описанных в задаче.

II.4. Задачи на приложения вместе с задачами, широко применяемыми в преподавании математики, образовывают единое целое.

В ходе исследования нами подтверждено, что функции задач на при-

ложения во многом схожи с функциями школьных учебных задач. Это про-

иллюстрировано нами на примерах задач со следующими функциями в обу-

чении: запоминание теоретических фактов; формирование навыков иссле-

довательской деятельности; усиление мотивации к обучению; формирова-

ние мировоззрения. В методической подготовке учителя к практико-

ориентированному обучению математике в школе нами предполагается формирование умения выделять функции задач на приложения, подбирать для использования в учебном процессе задачи, выполняющими заданные функции. Формирование этого умения возможно при выполнении студента-

ми заданий по подбору задач на приложения согласно указанной функции.

Сделанные выводы и обобщения позволяют нам перейти к класси-

фицированию задач, связанных с практическими приложениями математи-

ки в школе.

190