Егупова МВ_пратико_ориентированное обучение математике в школе как предмет методической подготовки учителя

1.4. Оценивать полноту исходных данных для построения математи-

ческой модели.

2 этап. Внутримодельное решение.

2.1. Выбирать рациональные методы исследования реальных объек-

тов в зависимости от поставленной задачи.

2.2. Составлять математическую модель с учетом требуемой точно-

сти описания реальных объектов задачи.

3 этап. Интерпретация результата.

3.1.Анализировать использованные математические методы решения

сточки зрения их рациональности для исследования реального объекта.

3.2.Интерпретировать результат исследования математической мо-

дели с требуемой погрешностью.

Таким образом, мы выделяем следующие компоненты линии ППМ,

составляющие ее структуру: содержательный, включающий содержание учебного материала, базовое понятие, этапы метода математического мо-

делирования; деятельностный, представленный прикладными математи-

ческими умениями школьников; задачный, содержащий систему класси-

фикаций задач на приложения (она будет представлена далее) и характери-

стику уровней их сложности; процессуальный, в котором выделены вре-

менные этапы реализации линии.

Определены условия успешности реализации линии. К ним отнесены:

–соответствие содержания линии содержанию школьного обучения;

–активизация познавательного интереса обучаемых;

–овладение школьниками прикладными математическими умениями;

–специальная методическая подготовка учителя к реализации линии.

Полученные нами результаты позволяют перейти к расширению

идополнению понятия задачи, связанной с практическими приложениями математики, определению требований к форме и содержанию таких задач,

иподходов к их систематизации в контексте современной образовательной парадигмы.

151

2.2. Задачи, обеспечивающие практико-ориентированное обучение математике в школе, как основной компонент

методической подготовки учителя

В методической подготовке учителя математики всегда большое ме-

сто отводилось методике обучения решению задач различных типов.

В обосновываемой нами системе задачи, обеспечивающие практико-

ориентированное обучение математике в школе, являются основным ком-

понентом методической подготовки студентов. Поэтому в ходе исследова-

ния нам необходимо было обобщить и систематизировать накопленный в этом направлении методический опыт, преломить его через призму со-

временной образовательной парадигмы, в которой на первый план выхо-

дит цель подготовки учащихся к использованию полученных в школе зна-

ний в реальных ситуациях. В этой части исследования дополним и расши-

рим понятие задачи, обеспечивающей практико-ориентированное обуче-

ние и связанной с практическими приложениями математики в школе, сис-

тематизируем виды таких задач, их функции в обучении, обобщим мето-

дические требования к таким задачам.

2.2.1.Понятие и особенности задач, обеспечивающих практико-ориентированное обучение математике в школе

К задачам, обеспечивающим практико-ориентированное обучение математике в школе, естественно отнести задачи, в содержании которых отражены практические приложения школьного курса математики. Для то-

го чтобы дать более полную характеристику этому виду задач проведем анализ соответствующей методической литературы.

К основным средствам обучения практическим приложениям мате-

матики в школе, описанных с той или иной степенью подробности в мето-

дических исследованиях (Н.А. Беспалько, С.Н. Дворяткина, М.И. Денисо-

ва, И.И. Зубова, В.В. Орлов, Н.А. Терешин, М.И. Якутова и др.) относят:

152

практические и лабораторные работы, направленные на наблюде-

ние и выделение математических закономерностей в окружающей природе;

компьютерные программы, позволяющие моделировать реальные процессы и объекты, обрабатывать информацию о них;

лекции, краткие информационные сообщения, беседы о методах использования математического аппарата в других науках и производствен-

ной деятельности эвристического или репродуктивного (понимание объяс-

нений учителя учеником и осознанное усвоение ими знаний) характера;

учебные исследования и проекты с прикладным содержанием;

курсы по выбору и элективные курсы, отражающие прикладные аспекты математики.

В основу всех перечисленных средств положены задачи, отражаю-

щие реальные ситуации применения математической теории на практике.

Такие задачи в науке принято называть прикладными, а в школьном курсе математики различными авторами они называются практическими, прак-

тико-ориентированными, контекстными, прикладными и т.п. На практике прикладная задача возникает из реальной ситуации, которая носит про-

блемный характер, т.е. требует выполнения каких-либо действий с заранее заданной целью, при этом способ достижения этой цели неизвестен. При-

кладная задача является содержательной моделью этой ситуации, отра-

жающая те ее стороны, которые необходимы для разрешения поставлен-

ной проблемы. В прикладной задаче в отличие от реальной ситуации, вы-

делены исходные данные и сформулировано то, что необходимо найти, ус-

тановить.

В методике обучения математике наиболее известным определением учебной прикладной задачи является следующее. Под прикладной задачей

(задачей прикладного характера, с прикладным содержанием) понимают задачу, «поставленную вне математики и решаемую математическими средствами» [311, с.25]. Данное определение носит довольно общий харак-

тер и может быть использовано как в науке математике, так и в школьной

153

практике. Однако, как показал проведенный нами анализ, между школьной задачей с прикладным содержанием и научной прикладной проблемой имеются очевидные различия, которые состоят: в целях решения задач;

в способах достижения результата; в уровне сложности применяемого ма-

тематического аппарата. Но у них есть и общие черты, которые позволяют подготовить школьников к использованию математики в реальных услови-

ях. Это применяемый для решения таких задач метод математического мо-

делирования; отражение реальной ситуации в содержательной модели;

требования к выбору математической модели.

Учебная прикладная задача – один из довольно сложных и неодно-

значных в методическом смысле объектов. Анализируя различные подхо-

ды к определению прикладной задачи в методической литературе, мы рас-

пределили их по трем направлениям:

– «деятельностное» (Г.М. Морозов, Н.В. Чанг, Д. Икрамов), в соот-

ветствии с которым в качестве основного понятийного признака приклад-

ной задачи выделяется признак, связанный с обучением учащихся дея-

тельности по применению математики для решения различных задач (при-

чем, не обязательно задач, поставленных вне математики). Прикладная за-

дача «характеризуется не тем, что в ее содержании используются практи-

ческие данные, а тем, что в ходе ее решения используются приемы… и ме-

тоды, характерные для деятельности в области применения математики»

[128].

– «содержательное» (Е.Я. Жак, Х.О. Поллак, А.А. Канеканян, Ю.М.

Колягин, В.В. Пикан) – в определении прикладной задачи доминирующей является содержательная компонента, указывающая область человеческой деятельности, из которой взята задача, т.е. это задачи, возникающие в

«технике, в профессиональной деятельности, в народном хозяйстве и бы-

ту» [148].

– «содержательно-деятельностное», означающее дизъюнкцию или конъюнкцию первых двух. По определению М.И. Якутовой [365], при-

154

кладные задачи – это учебные задачи, включающие в качестве структур-

ных компонентов их решения этап формализации некоторой практической ситуации или этап интерпретации того или иного математического резуль-

тата, или оба эти этапа. В этом определении признается необходимым при-

сутствие реального объекта, ситуации, связанной с возможностью приме-

нения математики.

Позиция авторов содержательно-деятельностного направления наи-

более широкая. С одной стороны такой подход позволяет отразить особен-

ности постановки задач в прикладной математике, как научной области.

Это позволит наиболее достоверно отразить процесс математизации наук и показать действенность математического метода. А с другой стороны, ис-

пользование метода математического моделирования в обучении даст воз-

можность достичь ряда целей, сформулированных в стандарте общего об-

разования [328], [325].

Таким образом, учебные задачи с прикладным содержанием служат

двум основным целям, отражающим бинарное назначение практических приложений математики в обучении: с одной стороны с помощью таких задач происходит обучение математике через ее приложения, с другой – имеется возможность обучать приложениям математики.

Наш анализ показывает, что термин «прикладная задача» в связи с учебным характером школьных задач не совсем точен. В ряде методиче-

ских работ ([41], [296]) встречается термин «практическая задача» или «за-

дача с практическим содержанием», под которым подразумевается уста-

новление посредством фабульной окраски связи теории с практикой. Од-

нако этот термин в теории и методике обучения математике имеет не единственное значение и часто используется в другом контексте. Напри-

мер, разделяя учебный материал на теоретический и практический, мы,

традиционно, имеем в виду применение теории к решению математиче-

ских задач.

155

Поэтому в нашем исследовании считаем возможным называть зада-

чи, обеспечивающие практико-ориентированное обучение, которые, по су-

ти, являются учебными прикладными математическими задачами – зада-

чами, связанными с практическими приложениями математики. Опреде-

лим их следующим образом. Задача, связанная с практическими приложе-

ниями математики (задача на приложения5), – это задача, представляю-

щая собой содержательную модель реального объекта, математическая модель которого может быть построена средствами школьного курса математики. Из этого следует, что:

содержание условия задачи на приложения ограничивается содер-

жанием школьных дисциплин (математических и нематематических) и

жизненным опытом учащихся;

учебный характер задачи на приложения выражен в ее соответст-

вии ряду известным дидактическим целям, поставленным перед школьны-

ми математическими задачами (подготовка к изучению теоретических во-

просов, закрепление приобретенных теоретических знаний, формирование умений и навыков, контроль над усвоением математических знаний [192, с.

165]);

задача на приложения является сюжетной (текстовой) задачей.

Последний вывод требует аргументации. Под текстовыми задачами понимают задачи, в которых описан некоторый сюжет с целью нахожде-

ния определенных количественных характеристик [333]. В связи с этим их часто называют еще сюжетными. Это старейший вид задач, использовав-

шийся в обучении «для упражнений мышления ученика, для вывода мате-

матических правил и для упражнения в приложении этих правил в реше-

нии частных практических вопросов» [98].

Первые две функции текстовых задач сохранились и до наших дней,

а что касается третьей (приложение математики к решению практических

5 Для краткости, будем в тексте называть задачи, связанные с приложениями математики, задачами на приложения.

156

вопросов), то традиционные задачи на покупку и продажу, совместную ра-

боту, движение и т.п. сегодня не имеют для приобретения жизненного опыта такого значения, как, скажем, в ХIХ веке. Кроме того, подавляющее большинство таких задач, применяемых в школьном обучении, носит ис-

кусственный характер, отдаленный от реальной действительности. И лишь довольно небольшая часть текстовых задач, содержание которых наиболее достоверно отражает приложения математики, и может быть приближена,

по сути, к прикладным задачам, решаемым в научной и производственной практике.

Грань между задачей с прикладным содержанием и традиционно по-

нимаемой текстовой задачей проведем следующим образом. И текстовая задача, и задача на приложения – фабульные, изложены на естественном языке и требуют построения математической модели. Ознакомление уча-

щихся с сущностью и практикой математического моделирования является главной целью использования этих видов задач в обучении математике.

Однако, чем больше содержательная модель описанной в задаче ситуации,

будет «очищена» от реальности, чем выше степень ее идеализации и схе-

матизации, тем меньше в такой задаче прикладной направленности. Кроме того, в прикладной задаче, даже учебной, важна сама ее постановка: усло-

вие и формулировка вопроса должны быть связаны с анализом реального объекта с заданной целью.

Проиллюстрируем выявленные различия на примерах. Определим,

какая из следующих задач ближе к текстовым, а какая к прикладным.

1. С ветки дерева одновременно взлетели три птицы. В какой мо-

мент они окажутся в одной плоскости?

2. Почему на проезжей части крышки люков имеют круглую, а не квадратную форму?

В сюжете первой задачи реальные объекты (дерево, птицы) состав-

ляют лишь терминологический фон. Рассмотренная в задаче ситуация ис-

кусственна, ее анализ не обогащает знаний учащихся о закономерностях

157

реального мира, а сама задача призвана закрепить понятие плоскости. По-

этому первую задачу следует отнести к текстовым. Во второй задаче име-

ется реальный объект (крышка люка), и полученные знания о нем имеют применение на практике. Эту задачу отнесем к прикладным.

Возможность выбора фабулы для учебных прикладных задач огра-

ничена рамками содержания школьного курса математики. Подбор прило-

жений математики, которые бы показали существенную роль математики в исследовании реальности, в решении известных проблем естествознания затруднен в связи с тем, что для их понимания знания элементарной мате-

матики очень часто недостаточно. Кроме этого, хорошо известно, что изу-

чение математической теории и развитие умения пользоваться ею для ре-

шения чисто математических задач традиционно занимает большую часть времени, отводимого на математику в школе.

Обучение школьников использованию математического аппарата в решении задач на приложения, согласно нашему анализу, почти тождест-

венно обучению методу математического моделирования. Выделим наибо-

лее важные характерные особенности процесса применения математики к исследованию реальных объектов, т.е. особенности задач на приложения,

которые должны составить математическую грамотность школьников в этом вопросе и с которыми должны быть знакомы учителя математики.

Эти особенности тесно связаны с основными этапами математического моделирования.

1. При переходе от условия прикладной задачи к строгой математи-

ческой модели используются не доказательные, а правдоподобные рассуж-

дения. Это, например, рассуждения по аналогии, использование понятий вне рамок их первоначального определения, использование результатов приближенного решения.

2. Уровень строгости и полноты математического исследования со-

гласуется со смыслом исходной ситуации, т.е. с реальным смыслом вели-

чин, входящих в условие задачи.

158

интереса; иллюстрация и конкретизация учебного материала; контроль и оценка учебной деятельности; приобретение новых знаний и т.д. [334]. Эти функции реализуются как через математический аппарат, используемый при формулировании и решении задачи, так и через ее фабулу. Поэтому надлежащего воспитательного и образовательного эффекта возможно ожидать лишь от задач, удовлетворяющих определенным требованиям.

В.Г. Болтянский считает, что «Задачи прикладного характера имеют в об-

щеобразовательной школе важное значение, прежде всего, для воспитания интереса к математике. На примере хорошо составленных задач приклад-

ного содержания учащиеся будут убеждаться в значении математики для различных сфер человеческой деятельности, в ее пользе и необходимости для практической работы, увидят широту возможных приложений матема-

тики, поймут ее роль в современной культуре» [32].

Что же означает «хорошо составленные» задачи? Какие требования надо предъявить к таким задачам, чтобы была высока результативность их применения в различных учебных ситуациях? Эти требования могут быть обоснованы и сформулированы, исходя из следующих особенностей таких задач.

По утверждению Н.А. Терешина, одна из функций задач на прило-

жения состоит в том, чтобы дать учащимся представление о возможностях использования математики для решения проблем, поставленных другими областями знаний. [311] Поэтому, во-первых, такая задача носит не только дидактический характер. В ней соединена достоверность описываемой си-

туации и доступность ее математического разрешения средствами школь-

ного курса математики. Во-вторых, задача на приложения – это учебная задача и, прежде всего, она способствует обучению математике, приобре-

тению знаний именно в этой области. В-третьих, важным этапом решения задачи на приложения является ее перевод на язык математики. Для этого необходимо понимание нематематической ситуации, описанной в ее фабу-

ле. Учащиеся могут опираться только на уже имеющиеся у них знания

160