9. Определение коэффициентов уравнения регрессии

В основе определения коэффициентов уравнения регрессии лежит метод наименьших квадратов и приемы матричной алгебры. Коэффициенты определяют из условия минимизации суммы квадратов отклонений экспериментальных данных от расчетных.

Расчет коэффициентов модели для i -го исследуемого параметра ведется по формуле:

, ,,

,

где N - число опытов плана, например для 2⁴:

10. Анализ полученных коэффициентов регрессии

Анализ значимости коэффициентов регрессии удобнее всего проводить с помощью t-критерия Стьюдента. Если анализируемый коэффициент статистически значим, то влияние данного фактора существенно.

Дисперсия ошибки при определении коэффициента модели:

,

где N - количество опытов в плане (число строк в матрице планирования)

с - количество дублирующих опытов для каждой точки плана.

Табличное значение t - критерия в данном случае определяется при 16*4 = 16*4=64 степенях свободы. t_расч>t_{табл .}

Коэффициент значим, если расчетная величина критерия Стьюдента больше его табличной величины. Такая проверка обычно начинается с наименьшего по абсолютной величине коэффициента, так как в случае его значимости надобность в проверке остальных величин отпадает. Можно определить критическое значение коэффициента модели.

, коэффициенты, меньшие по модулю , считаются не значимыми. (t выбирается по таблице для условий проведения эксперимента)

11. Проверка адекватности полученной модели.

Проверка адекватности полученной модели как правило выполняется на основании следующей гипотезы: отклонение экспериментальных значений от расчетных является минимальным и незначимо отличается от ошибки опыта. Это выполняется с использованием F-критерия Фишера. Если расчетное значение F-критерия меньше табличного, есть основание считать полученное уравнение адекватным.

При проверке адекватности прежде всего необходимо оценить сумму квадратов отклонений экспериментальных значений от рассчитанных по полученным формулам во всех точках плана. Для этого после расчетов по полученному уравнению регрессии заполняется 13 столбец матрицы планирования (табл.1).

Эта величина называется остаточной суммой квадратов.

Остаточная дисперсия ли дисперсия адекватности получается путем деления остаточной суммы квадратов на число степеней свободыN-m,

где N-число опытов плана m- число значащих членов в уравнении регрессии, получаем .

Расчетное значение критерия Фишера F_р определяют по формуле:

Табличное значение критерия Фишера определяется при степенях свободы: f₁=N-m=, а f₂=N*(k-1) для выбранного уровня значимости (обычно 0,05)

При F_р F_т есть основание полагать, что уравнение адекватно.

Если модель получается неадекватной, можно попытаться линеаризовать модель с помощью принятия за основу степенной зависимости, которую можно линеаризовать с помощью логарифмирования.

Например:

после линеаризации:

Планы второго порядка

В матрице планирования первого порядка каждая из переменных варьировалась на двух уровнях. Для оптимизации зависимости полиномом второго порядка изучение только на двух уровнях уже недостаточно и, следовательно, в план должны включаться дополнительные точки для увеличения количества уровней каждого фактора.

Можно предположить, что наиболее простыми эффективными окажутся планы, включающие полный факторный эксперимент типа 3^k т. е. с варьированием каждой переменной на трех уровнях. Но при этом с ростом числа факторов значительно увеличивается количество опытов. Так, N=27 при k=3, а при k=5 N=243 и т. д. Реализация такого большого количества опытов часто практически невозможна и не нашла применения при планировании эксперимента.

Гораздо эффективнее оказались специальные планы второго порядка на пяти уровнях. Основу такого планирования, его ядро составляет полный факторный эксперимент линейного приближения типа 2^k, к которому добавляется определенное количество специально распо­ложенных точек. Поэтому такие планы называются композиционными. Присоединенные к ядру так называемые звездные точки характеризуются величиной звездного плеча которое определяет расстояние от них до центра эксперимента. Третью группу образуют опыты в нулевой точке. Таким образом общее число экспериментальных точек в плане второго порядка определяется соотношением N=2^k+2•k+n_о (где k -число факторов; n_о — количество опытов в нулевой точке).

Как видно, каждый из факторов варьируется не менее чем на трех уровнях. Преимущество таких планов по сравнению с полным факторным экспериментом типа 3^k очевидно. Действительно, при k=3 и n_о=1 N=15 вместо 27, при k=4 N=25 вместо 81 и т.д.