1.10.2 Функции, сохраняющие константы. Классы т0 и т1

Определение. Функция f(хⁿ) сохраняет 0, если f (0,..., 0) = 0. Функция f(хⁿ) сохраняет 1, если f(1, ... , 1) = 1.

Множества функций n переменных, сохраняющих 0 и 1, обозначают, соответственно, Т₀ⁿ и Т₁ⁿ. Все множества функций алгебры логики, сохраняющих 0 и 1, обозначают Т₀ и Т₁. Каждое из множеств Т₀ и Т₁ является замкнутым предполным классом в Р₂ .

Из элементарных функций в Т₀ и Т₁ одновременно входят, например,  и . Принадлежность любой функции к классам Т₀ , Т₁ можно проверить по первому и последнему значению ее вектора значений в таблице истинности либо непосредственной подстановкой нулей и единиц в формулу при аналитическом задании функции.

Определение. Дублирующей называют такую подстановку, при которой вместо нескольких независимых переменных в функцию подставляют одну и ту же переменную. При этом величины переменных в наборах, которые раньше принимали значения независимо друг от друга, всегда будут одинаковыми.

ЗАДАЧИ

1.Проверить принадлежность к классам Т₀ и Т₁ функций:

а) обощенного сложения, б) обощенного умножения, в) констант, г) ху  yz , д) х  у  ху , е) х  у , ж) ( х₁…  х_n)  ( y₁…  y_m) при n,m N.

2. Доказать замкнутость каждого из классов Т₀ и Т₁ .

3. Доказать, что если f (х ⁿ)  Т₀, то из нее путем дублирующей подстановки можно получить константу 1 либо отрицание.

4. Доказать, что если f (х ⁿ)  Т₁ , то из нее путем дублирующей подстановки можно получить константу 0 либо отрицание.

5. Доказать предполноту каждого из классов Т₀ и Т₁ (например, сведением дополненной системы к {f} = { , , } ).

6. Найти мощность классов Т₀ⁿ и Т₁ⁿ .

1.10.3. Самодвойственность. Класс s

Функции f (х ⁿ) и g (х ⁿ) двойственны (f = g^*), если они принимают противоположные значения на обратных наборах значений переменных f(х ⁿ) =g (х ^n*).

Определение. Функция f (хⁿ) называется самодвойственной, если f = f ^*

Множество самодвойственных функций n переменных обозначают Sⁿ, а все множество самодвойственных функций алгебры логики — S. Это множество является замкнутым предполным классом в Р₂ .

Из определения самодвойственных функций несложно показать, что первая половина их векторов истинности после симметричного отражения слева—направо и последующего инвертирования должна совпадать со второй половиной.

Пример. Проверить самодвойственность функций:

а) х , б)х  у , в) (00101011).

Решение. Проверку производим по векторам истинности с использованием описанного выше их свойства для самодвойственных функций.

а) Делим вектор истинности функции х на две половины: (1 0). Поскольку в первой половине один символ (1), то симметричное отражение дает его же. Инвертируя его, получим символ 0, который совпадает со второй половиной вектора. Следовательно, отрицание — самодвойственная функция.

б) Вектор истинности функциих  у делим на две половины: (00 10). Симметричное отражение первой половины относительно разделяющей черты не меняет ее. После инвертирования получим последовательность (11), которая не совпадает со второй половиной вектора истинности (10). Поэтомух  у — не самодвойственная функция.

в) Делим вектор истинности на две половины (00101011). Симметрично отразим первую половину относительно разделяющей черты — (0100) и инвертируем ее — (1011). Полученная последовательность совпала со второй половиной вектора истинности, следовательно, рассмотренная функция — самодвойственная.

Ответ: функции а) х и в) (00101011) — самодвойственны, функция б)ху — нет.

Рассмотрим самодвойственность элементарных функций с учетом числа переменных n в них.

n=0. Константы 0 и 1 не являются самодвойственными.

n=1. Тождество и отрицание входят в S (х  S,х  S).

n=2. Ни одна из элементарных функций не входит в S. Все двухместные самодвойственные функции f (х,у) имеют одну фиктивную переменную и сводятся к функциям х, у, х, у.

Следовательно, для получения самодвойственных функций, имеющих две существенных переменных, необходимо рассматривать n  3.

Для несамодвойственных функций справедлива

Лемма о несамодвойственной функции

Если f (х ⁿ) S , то из нее путем подстановки х их вместо переменных х₁, х₂ , ... , х_n можно получить константу.

Доказательство. Из f (х ⁿ)  S следует, что существует набор = (₁, ₂, ..., _n ), для которого: f (₁, ₂, ... , _n ) = f(₁,₂, ... , _n ) = С. Подстановки выбираем по правилу:  _i (x)= x ^i , где  _i (x)= x при  _i =1,  _i (x) =x при  _i = 0. В итоге получаем функцию одной переменной F(x), которая принимает следующие значения: F(0) = f(₁ (0), ... , _n (0)) = C, F(1) = f(₁ (1),..., _n (1)) = C, т.е. является константой.

ЗАДАЧИ

1. Будут ли двойственными функции: а)  и  ; б)  и  ; в) (10100010) и (11100000) ; г) (10100010) и (10111010).

2. Найти с использованием принципа двойственности функции, двойственные к: а) ху  уz ; б) ху  (х  z) у ; в) х у.

3. Доказать, что если f (х ⁿ) S, то в ее векторе значений будет равное число значений 1 и 0.

4. Будут ли самодвойственными функции: а) х ; б) х ; в) х у  xz  yz; г) (01001011); д) (1100101100101100) .

5. Доказать, что если f (х ⁿ) S, то f (х,х,...,х) (х,х).

6. Доказать, что все двухместные самодвойственные функции f(х, у) имеют ровно одну фиктивную переменную и сводятся к функциям х, у,х, у.

7. Доказать замкнутость класса S .

8. Доказать предполноту класса S (например, используя лемму о несамодвойственной функции и 3 — местную самодвойственную функцию f =(00010111) ).

9. Найти мощность класса S ⁿ.