1.10. Замкнутость и полнота систем функций

1.10.1. Операции суперпозиции и замыкания. Полнота, базис системы функций

Однотактные (не содержащие элементов памяти) дискретные логические устройства реализуют на выходе некоторый набор функций алгебры логики F^m=(F₁,F₂,…,F_m), которые в каждый момент времени зависят только от состояния входов устройства хⁿ=(x₁,x₂,…,x_n): F^m = F^m (хⁿ). Практически такие устройства проектируют и изготавливают из отдельных неделимых элементов, реализующих некоторый набор (систему) {f} элементарных функций алгебры путем присоединения выходов одних элементов ко входам других.

При проектировании логических устройств актуальными являются следующие вопросы.

1. Задана система элементарных функций {f}. Какие выходные функции F_i можно получить, используя функции из {f}?

2. Задано множество выходных булевых функций {F} (в частности, равное всему множеству функций алгебры логики Р₂). Какой должна быть исходная система элементарных функций {f}, обеспечивающая возможность получения на выходе любой из функций множества {F}?

Для обоснованного ответа на данные вопросы используют понятия суперпозиции, замкнутости и полноты систем функций.

Определение. Рассмотрим множество логических связок {F}, соответствующее некоторой системе функций {f}. Суперпозицией над {f} называется любая функция , которую можно реализовать формулой над {F}.

Практически суперпозицию можно представить как результат подстановки функций из {f} в качестве аргументов в функции из этого же множества.

Пример 1. Рассмотрим систему функций {f}={f₁(х) =х , f₂ (х,у)= ху, f₃(х,у)= ху }. Подставляя в функцию f₃ (х,у) вместо первого аргумента х функцию f₁(х), вместо второго — f₂ (х,у), получим суперпозицию h(х,у) = f₃ (f₁(х), f₂(х,у)) =х  х  у. Физическая реализация подстановки дана на рис.1.18.

Рис.1.18

Определение. Пусть М — некоторое множество функций алгебры логики (P₂). Множество всех суперпозиций над М называется замыканием множества М и обозначается [М]. Получение [М] по исходному множеству М называется операцией замыкания. Множество М называется функционально замкнутым классом, если [М] = М. Подмножество m  M называется функционально полной системой в М, если [m] = М.

Замыкание [М] представляет собой все множество функций, которое можно получить из М путем применения операции суперпозиции, т.е. всех возможных подстановок.

Замечания. 1. Очевидно, любая система функций {f} является функционально полной в себе самой.

2. Без ограничения общности можно считать, что тождественная функция f(х)=х, не изменяющая значений истинности переменных, изначально входит в состав любой системы функций.

Пример 2. Для рассмотренных ниже систем функций {f} выполнить следующие действия:

1) найти замыкание [f ],

2) выяснить, будет ли система {f} замкнутым классом,

3) найти функционально полные системы в {f}.

Решение.

I. {f}={0}. При подстановке функции {f0} в саму себя получаем ее же, т.е. никаких новых функций не образуется. Отсюда следует: [f] = {f}. Рассмотренная система является функционально замкнутым классом. Функционально полная система в ней одна и равна всей {f}.

II. {f}={0, }. Подстановка  ( х) дает тождественную функцию, которая формально не расширяет исходную систему. Однако при подстановке  (0) получим тождественную единицу — новую функцию, которой не было в исходной системе:  (0)=1. Применение всех других подстановок не приводит к появлению новых функций, например:  0=0, 0( х)=0.

Таким образом, применение операции суперпозиции позволило получить более широкое по сравнению с исходным множество функций [f] ={0, ,1}. Отсюда следует строгое вхождение: {f}  [f]. Исходная система {f} не является функционально замкнутым классом. Кроме самой системы {f} других функционально полных систем в ней нет, поскольку в случае её сужения из одной функции f=0 нельзя путем подстановки получить отрицание, а из одной функции отрицания нельзя получить тождественный нуль.

III. {f} = { , , }. Замыканием данной системы является все множество функций алгебры логики P₂, так как формулу любой из них можно представить в виде ДНФ либо КНФ, в которых используются элементарные функции {f} = { , ,}. Данный факт является конструктивным доказательством полноты рассмотренной системы функций в P₂: [f] =P₂.

Поскольку в P₂ содержится бесконечное множество других функций, отличных от {f} = { , , }, то отсюда следует строгое вхождение: {f} [f]. Рассмотренная система не является функционально замкнутым классом.

Помимо самой системы функционально полными в ней будут подсистемы {f}₁ = { , } и {f}₂ = { , }. Это следует из того, что при помощи правил де Моргана функцию логического сложения  можно выразить через { ,},а функцию логического умножения  — через {, }:

(х  у) =  (ху), (х  у) =  (х у).

Других функционально полных подсистем в {f} нет.

Проверку полноты подсистемы функций {f}₁  {f} во всей системе {f} можно производить путем сведения {f}₁ к другой, заведомо полной в {f} системе.

Неполноту подсистемы {f}₁ в {f} можно проверить, доказав строгое вхождение [f₁]  [f].

Определение. Подмножество m  M называют функциональным базисом (базисом) системы М, если [m] = М , а после исключения из нее любой функции множество оставшихся не полно в М .

Замечание. Базисами системы функций {f} являются все ее функционально полные подсистемы {f}₁, которые невозможно уменьшить без потери полноты в {f}.

Пример 3. Для всех систем, рассмотренных в Примере 2, найти базисы.

Решение. В случаях 1 и 2 функционально полными являются только сами системы и сузить их невозможно. Следовательно, они же являются и базисами.

В случае 3 есть две функционально полные в {f} подсистемы {f}₁ = {, } и {f}₂ ={, }, которые невозможно сократить без потери полноты. Они будут базисами системы {f} = {,,}.

Определение. Пусть система {f} является замкнутым классом. Ее подмножество {f}₁  {f} называют предполным классом в {f}, если {f}₁ не полно в {f} ([f₁]  [f]), а для любой функции  из системы {f}, не входящей в {f}₁ ({f} \ {f}₁ ) справедливо: [  {f}₁] = [f], т.е. прибавление  к {f}₁ делает ее полной в {f}.

Задачи

1. Проверить замкнутость множеств функций:

а) { }; б) {1,  }; в) {(0111); (10)}; г) {(11101110); (0110)}; д) {(0001); (00000001); (0000000000000001); … }.

2. Проверить полноту систем функций в P₂:

а) {0, }; б) {(0101) , (1010) }; в ) { }; г ) {(0001) , (1010) }.

3. Найти замыкание системы функций и ее базис:

а) {0 , 1 ,  }; б) {(1000) , (1010), (0101) }; в) {(0001) , (1110), ( 10) }; г ) {(1010) , (0001), (0111) }.