![](/user_photo/2706_HbeT2.jpg)
- •1Система аксиом действительных чисел.
- •4 Открытое покрытие отрезка
- •Первое доказательство
- •Второе доказательство
- •5Предельная точка множества. Предел функции в точке
- •6Предел последовательности
- •7Свойства сходящихся последовательностей
- •8 Теоремы о предельном переходе в неравенствах.
- •9 Критерий коши сходимости последовательности
- •10 Свойства монотонных последовательностей
- •14 Св-ва пределов
- •21 Http://joxi.Ru/qmtgUhjKtja2asPky84
- •23 Непрерывность обратной функции
- •24Теорема (о разрывах монотонной функции)
- •Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы о существовании предела монотонной функции.
- •30 Http://joxi.Ru/mm3gUv3jtjcwEaipblM
- •35 Http://joxi.Ru/19jGUhjKtjbaAdNjO7m
- •41 Введение в специальность – искать там
- •44 Http://joxi.Ru/6t_gUhjKtja7AdX473u
21 Http://joxi.Ru/qmtgUhjKtja2asPky84
22
Теорема о промежуточном значении (или Теоре́ма Больца́но — Коши́) утверждает, что если непрерывная функция, определённая на вещественном интервале, принимает два значения, то она принимает и любое значение между ними.
Пусть
дана непрерывная
функция на отрезке Пусть
также
и
без ограничения общности предположим,
что
Тогда
для любого
существует
такое,
что
.
Доказательство
Рассмотрим
функцию Она
непрерывна на отрезке
и
,
Покажем,
что существует такая точка
,
что
Разделим
отрезок
точкой
на
два равных по длине отрезка, тогда
либо
и
нужная точка
найдена,
либо
и
тогда на концах одного из полученных
промежутков функция
принимает
значения разных знаков (на левом конце
меньше нуля, на правом больше).
Обозначив
полученный отрезок ,
разделим его снова на два равных по
длине отрезка и т.д. Тогда, либо через
конечное число шагов придем к искомой
точке
,
либо получим последовательностьвложенных
отрезков
по
длине стремящихся к нулю и таких, что
Пусть -
общая точка всех отрезков (согласнопринципу
Кантора,
она существует и единственна)
,
Тогда
и
в силу непрерывности функции
Поскольку
получим,
что
23 Непрерывность обратной функции
Пусть --
непрерывная монотонная функция,
,
.
Тогда обратная к
функция
непрерывна
на отрезке
.
Доказательство.
Во-первых, заметим, что если ,
,
то
.
Во-вторых,
пусть ;
рассмотрим функцию
,
которая определена при
.
Очевидно, что
--
непрерывная на
функция,
поэтому она принимает наименьшее
значение
в
некоторой точке
:
Таким
образом, если ,
то
,
то есть если
,
то
.
Последнее утверждение можно
переформулировать так: для любого
числа
найдётся
число
,
такое что при
выполняется
неравенство
.
(При этом
,
,
,
.)
Получили, что функция
удовлетворяет
определению равномерной непрерывности
на отрезке
;
тем самым доказано утверждение теоремы.
24Теорема (о разрывах монотонной функции)
http://joxi.ru/esnGUhjKTJA9ASX9mGQ
Если
функция определена
на отрезке
и монотонна ,
то она может иметь внутри этого отрезка ,
точки разрыва 1-го рода, и число точек
либо конечно, либо счётно.
Доказательство этой теоремы легко следует из теоремы о существовании предела монотонной функции.
Пусть
для определёности не
убывает в промежутке
. Возьмём
любую точку
,
не совпадающую с левым концом
, и
рассмотрим ту часть
, которая
лежит влево от
. При
не
убывает и ограничена сверху,
поскольку
при
.
В
силу теоремы о пределе монотонной
функции заключаем, что существует
конечный, а согласно свойству функции,
имеющей конечный предел ,
получим, что.
Если ,
то
непрерывна
в точке
слева.
Аналогично убеждаемся, что в каждой
точке
,
несовпадающей с правым концом
либо
непрерывна справа, либо имеет конечный
предел
.
Ход доказательства для невозрастающей
на
функции
аналогичен.
Итак,
во всякой внутренней
точке промежутка
монотонная
функция либо имеет точку разрыва первого
с конечным скачком
,
либо непрерывна.
25Теорема Кантора. Пусть функция f(x) определена и непрерывна на замкнутом отрезке [a,b]. Тогда она равномерно непрерывна на этом отрезке.
Доказательство.
Доказательство этой теоремы проведем методом от противного.
Надо доказать:
Противоположное утверждение:
Построение последовательностей.
Возьмем любую последовательность n, которая монотонно убывает до нуля, т.е.
1>2>3>…n0, n
Тогда для каждого n
Перебирая
все n мы
получим две последовательности
{xn}
и .
Выделение сходящихся подпоследовательностей.
Рассмотрим
последовательность {xn}.
Она ограничена, т.к. a xn b. По
лемме Больцано-Вейерштрасса,
из нее можно выделить сходящуюся
подпоследовательность
,
т.е.
.
Заметим, что c[a,b]
в силу замкнутости [a,b]. А что можно
сказать о подпоследовательности
?
Т.к.
,
то
.
Но
так как а
то по
теореме “о двух милиционерах” отсюда
следует, что также
,
т.е. подпоследовательность
сходится
к тому же пределу c, что и
.
Сведение к противоречию.
Рассмотрим теперь последний квантор
Переходя к пределу k и учитывая непрерывность функции y=|x|, получим:
В
силу непрерывности f(x) ,
так что получаем, что
|f(c)-f(c)|
т.е.
получаем, что 0.
Это противоречит квантору ,
где строго больше
0.
http://joxi.ru/ScrGUhjKTJBOAdh4RuA
26КОМПАКТНОЕ МНОЖЕСТВО
-
подмножество Мтопологич. пространства
Xтакое, что каждая
бесконечная последовательность содержит
подпоследовательность, сходящуюся к
нек-рой точке х 0 пространства X. Если
то
Мназ. компактным в себе множеством. Оно
является компактным
пространством в
индуцированной из Xтопологии. Обратно,
всякое К. м. метрич. пространства является
в такой топологии компактным пространством.
Множество, замыкание к-рого - К. м., наз.
относительно компактным множеством.
27Дифференци́руемая (в точке) фу́нкция — это функция, у которой существует дифференциал(линейная часть приращения функции.) (в данной точке).
28 (дифференцирование сложной функции). Пусть функция x = (t) дифференцируема в точке t, а функция y = f(x) дифференцируема в соответствующей точке x = (t). Тогда сложная функция y = f((t)) дифференцируема в точке t, причем справедлива формула
(f((t)))' = f'(x)'(t). |
(3) |
Доказательство. Зададим x = (t) отличное от нуля приращение t. Этому приращению отвечает приращение x = (t+ t)- (t) функции x = (t). Приращению x отвечает приращение y = f(x+ x)-f(x). Так как функция y = f(x)дифференцируема, то ее приращение y представимо в виде (1):
y =f'(x) x + ( x) x,
где lim x 0 ( x ) = 0. Поделив данное выражение на t 0, будем иметь:
y/ t=f'(x) x/ t+ ( x) x/ t.
Из дифференцируемости функции x = (t) в точке t вытекает, что
lim t 0 x/ t = '(t).
Отметим, что из дифференцируемости функции x = (t) следует, что x 0 при t 0. Следовательно, lim t 0 ( x) =0. Таким образом, получим необходимую формулу (3).
29 (производная обратной функции). Пусть функция y = f(x) возрастает (или убывает) и непрерывна в некоторой окрестности точки x. Пусть, кроме того, эта функция дифференцируема в точке x и f'(x)0. Тогда в некоторой окрестности соответствующей точки y = f(x) определена обратная функция x = f-1(y), причем обратная функция дифференцируема в точке x = f-1(y) и для ее производной справедлива формула
(f-1(y))' = 1/f'(x).
Доказательство. Так как функция y = f(x) строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x, то существует обратная функция x = f-1(y), которая является строго монотонной и непрерывной в некоторой окрестности точки y = f(x).
Пусть y 0 приращение для y, а x - соответствующее приращение обратной функции x = f-1(y). Тогда справедливо равенство
x/ y = 1/( y/ x).
Переходя к пределу в последнем равенстве при y 0 и учитывая, что в силу непрерывности обратной функции x 0, получим
lim y 0 x/ y = 1/ (lim x 0 y/ x).
То есть, x'(y) = 1/y'(x).
Доказанная теорема имеет простой геометрический смысл. Пусть M –точка графика функции f(x), (рис.22), производная f'(x) равна тангенсу угла наклона касательной, проходящей через M, к оси OX, а производная обратной функции (f-1(y))' в соответствующей точке y = f(x) равна тангенсу угла наклона той же самой касательной к оси OY. Так как углы наклона /2, то формула нахождения производной обратной функции выражает очевидный факт: tg = 1/tg .