8. Семь теорем

2) . Запишем аксиому а3 в следующем виде: вместоВ подставим формулу А, а вместо А подставим

1. примем двойное отрицание А за гипотезу, тогда по предположению выводится

2. Теперь из пунктов 1 и 2 выводится правая часть формулы

3. (теорема 1)

4. следовательно по т1 и 3 выводится

5. по теореме дедукции

3) Запишем аксиому а3, подставив вместоВ , тогда а3=

1. по 2) и 1 выводится правая часть

2. 

3. принимаем А за гипотезу, тогда по пр. из пунктов 2, 3 по МР

4. 

5. 

4) запишем третью аксиому а3

1. 

2. 

3. 

4. (пр.)

5. 

6. 

7. применяя ТД второй раз получаем

5) запишем аксиому а3

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. применяя ТД дважды, получаем требуемую формулу

6)

1. гипотеза

2. теорема

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

7) запишем а3

1. 

2. запишем 6) в следующем виде:

3. по МР, следовательно по ТД из

4. 

5. по ТД

8) запишем а3

1. 

2. покажем предыдущие

3. 

4. 

5. таким образом второй пункт доказан

6. 

7. 

8. ТД первый раз

ТД второй

Доказательство полноты исчисления высказываний.

Любая тавтология в исчислении высказываний выводима и наоборот. Множество формул выводимых в исчислении высказываний есть в точности все тавтологии.

Любая формула, которая следует из аксиом есть тавтология. Это следует т.к. аксиомы-тавтологии, а так же любая формула выводимая из двух тавтологий есть тавтология.

Докажем, что любая тавтология выводима в исчислении высказываний.

Теорема:

Исчисление высказываний полно

Доказательство:

1. Всякая теорема теории L есть тавтология.

Всякая аксиома аксиома теории L есть тавтология. Правило modus ponens, примененное к тавтологии приводит к тавтологии. Следовательно, всякая теорема теории L есть тавтология.

2. Всякая тавтология есть теорема теории L.

Лемма:

Пусть - формула от переменныхнад связками.

Пусть изначение переменных, на которыхпринимает значение.

Покажем из гипотез 

Здесь если;если

если ;, если

Доказательство индукцией по числу связок в формуле .

Число связок равно 0 :; Утверждение справедливо.

Пусть утверждение справедливо для любых формул с не более чемсвязками;.

Покажем справедливость для F с i+1 связкой

1. F₁ и F₂ – формулы с не более чем i связками

Рассмотрим произвольный набор переменных.

А)

Пусть гипотезы соответствующие набору

По индуктивному предположению :

1.   ;

2.   ;

а1.  (  )

1. а1.   

5. 1. (  )

  что и требовалось

В)

1.   ;

2.  ;

4. что и требовалось

С)

1. ;

2.  ;

а1. .

D)

1. ;

2.  ;

7. . ( 

что и требовалось

2.

a) это и естьF^’

b) это и естьF

Утверждение :

Любая тавтология выводима.

Рассмотрим два произвольных набора значений переменных отличающихся последней компонентой.

Пусть гипотезы которые соответствуют этим наборам будут и, тогда в силу предыдущей леммы и того, чтоF тавтология имеем: ;; то:

имеем. В силу того чтопроизвольно, точно так же можно избавиться от.

Пока не избавимся от всех гипотез и придем к .

Упражнения:

Доказать:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 

6. 

7. 

8. 

9. 

10. 

Графы.

Определение. Неориентированным графом называют пару , где – множество вершин графа, – множество неориентированных ребер графа, и это есть некоторое подмножество множества всех неупорядоченных пар вершин .

Пример. Пусть множество вершин состоит из трех элементов. Следовательно, неупорядоченными парами будут следующие двухэлементные подмножества трехэлементного множества :

Для графов удобно планарное представление, где вершинам графа соответствуют точки плоскости, а неориентированным ребрам соответствуют отрезки, соединяющие соответствующие пары вершин.

Пример. Ребро, у которого оба конца являются одной и той же вершиной, называется петлей. В примере петлей является ребро .

Определение. Ориентированным графом называют пару , где – множество вершин графа, – множество упорядоченных пар вершин – ориентированных ребер, и это есть некоторое подмножество декартова произведения :

Пример. Множество вершин состоит из трех элементов . Тогда упорядоченными парами вершин будут следующие:

Для ориентированных графов удобно планарное представление, где вершинам соответствуют точки плоскости, а ребрам соответствуют ориентированные линии, которые соединяют в определенном направлении соответствующие пары вершин.

Пример. Ориентированное ребро, у которого оба конца являются одной и той же вершиной, называется петлей. В примере петлей является ребро .