- •Введение
- •Дискретная математика
- •Бинарная операция ассоциативна, если тождественно выполняется: ;
- •4.Классы булевых функций :
- •5. Теория полноты
- •I этап :
- •3 Случай :
- •II этап :
- •6. Полные системы в классах т0, т1, м, s, l.
- •Все полные системы для классов t0, t1, s, m, l в утверждениях выше являются базисами для этих систем.
- •1 Этап:
- •2 Этап:
- •7. Исчисления высказываний
- •8. Семь теорем
- •Доказательство полноты исчисления высказываний.
- •Представление графов
- •1. Задание графа с помощью матрицы смежности.
- •2. Задание графа с помощью матрицы инцидентности.
- •3. Задание графа с помощью списка смежности.
- •Связанность вершин графа
- •Алгоритмы нахождения компонент связности
- •1. Поиск в ширину
- •2. Поиск в глубину
- •Укладки графов
- •Теорема Эйлера
- •Критерий Понтрягина-Куратовского
- •Раскраски графов
- •Основные понятия комбинаторики.
- •1 1.2 Упорядоченные наборы элементов изn-данных
- •1.3 Неупорядоченные наборы элементов изданных без повторений.
- •1.4 Неупорядоченные наборы элементов изп данных с возможными повторениями.
- •2 Метод включения-исключения.
- •Упражнения.
- •3 Метод производящих функций
- •4 Основы теории перечисления Пойа. Лемма Бернсайда.
- •Упражнения.
- •Глава. Основы схем из функциональных элементов.
- •1) Мультиплексор порядка
- •2) Дешифратор порядка .
- •3) Универсальный многополюсник.
- •Глава. Введение в теорию конечных автоматов.
- •Глава. Введение в теорию кодирования.
- •Теория кодирования.
6. Полные системы в классах т0, т1, м, s, l.
Утверждение 1:
Полной системой в классе Т0 является система
Доказательство:
Обе функции принадлежат Т0. Осталось показать, что , то есть любуюможно представить суперпозицией функций
Рассмотрим и полином ЖегалкинаТогда свободное слагаемое данного полинома равно 0 в силу того, что.Поэтому данный полином есть суперпозиция только. Это и есть требуемая суперпозиция.
Утвеждение 2:
В классе Т1 полной является система .
Доказательство:
Рассмотрим . Покажем, что ее можно получить суперпозицией. В дальнейшем потребуются функции:
Рассмотрим функции (k+1 – число наборов, на которыхf равна единице), которые получаются из по правилу:
для каждой функции оставляем соответствующий единичный набор, а на остальных (кроме 1…1) приравниваем к нулю.
Например:
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 1 0 1 1 0 0
0 1 1 0 0 0 0
1 0 0 1 0 1 0
1 0 1 1 0 0 1
1 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
В результате дополнительных функций будет столько, сколько единичных наборов без последнего. Очевидно
Поэтому, чтобы найти представление функциичерездостаточно найти представление каждой из добавочных функций через
Если f имеет один единичный набор, то это есть элементарная конъюнкция переменных без отрицания. В противном случае рассмотрим дополнительную функцию fi . Не теряя общности будем считать, что соответствующий единичный набор имеет вид: . Тогда справедливо:
Например: f1 равна 1 на наборах 010 и 111, поэтому
Утверждение 3:
В классе S полной является система
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
Все функции в данной системе являются самодвойственными. В дальнейшем потребуется , таблица значений которой аналогична конъюнкции.
. Заметим, что проверку этого равенства достаточно проводить только на наборах, в которых , то есть на первой половине наборов, в силу того, чтои функция, которая находится в правой части равенства как суперпозиция самодвойственных является самодвойственной.
Самодвойственных функций, существенно зависящих от двух переменных нет:
0 0 01 0 1 1 0
0 1 01 0 1 0 1
1 0 10 1 0 1 0
1 1 10 1 0 0 1
Функции, не имеющие существенных переменных – константы, т.е. не самодвойственные функции от одной переменной есть .
коммутативные операции, относительно второй и третьей переменных при фиксированной первой:
и ассоциативны относительно второй и третьей переменных при фиксированной первой:
Будем обозначать:
Из этих двух свойств следует что значение выражения, в котором присутствуют символы не зависят от порядка расположения скобок в нем и расположения множителей.
Например:
Выражение, в котором присутствует символ на наборах, в которыхравно 1, тогда и только тогда, когда все переменные выражения равны 1:=0 и
Значение выражения, в котором присутствует не зависит от расположения скобок и это выражение на наборах в которыхравно 1, когда хотя бы одна из переменных равна 1.
Утверждение:
Например:
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
Доказательство:
Заметим, что данное равенство достаточно показать только на первой половине наборов, где , тогда на оставшихся наборах равенство будет справедливо в силу самодвойственности функции в левой части и функции в правой части, как суперпозиция самодвойственных.
Рассмотрим набор
Покажем, что значение правой части на данных наборах равна 1 соответственно 0.
1) Рассмотрим слагаемые правой части, которые соответствуют набору .
Значение данного слагаемого на наборе равно, т.к. значение степени и основания совпадают, каждый множитель этого слагаемого равно 1, поэтому и все произведение равно1.
А поэтому значение всей дизъюнкции равно 1, т.к. существует слагаемое, равное 1.
2) . Рассмотрим произвольное слагаемое в правой части. Пусть оно соответствует единичному наборутогда наборыиразличны, поэтому, тогдаi-ый множитель на наборе будет равен 0, таким образом все слагаемые равны 0. Тогда значение всей правой части равно 0 на наборе. Утверждение доказано.
4) В классе монотонных функций полной является система .
Определение:
Нижней единицей монотонной функции называют набор значений переменных этой функции, на котором и для любого набора
Пример:
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 0
0 1 1 1
1 0 0 0
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
набор 001 для монотонной функции является нижней единицей набор 110 тоже нижняя единица функции.
Утверждение:
Пусть для монотонной функции :. Тогда справедливо представление:
Иначе говоря, для каждой нижней единицы записывается конъюнкция переменных, которые равны 1 в данном наборе
Доказательство:
1) тогда рассматриваем тот нижний набор, который меньше либо равен чем рассматриваемый, тогда в силу того, чтов тех местах, где в наборестоит 1, втакже должна стоять 1.
Поэтому слагаемое, соответствующее набору равно 1 на наборе, а поэтому и вся дизъюнкция равна 1.
2)
Рассмотрим произвольное слагаемое, которое соответствует нижней единице , на набореи покажем, что значение этого слагаемого равно 0 на наборе. Допустим противное,, что соответствующее слагаемое на набореравно 1.Тогда в тех местах , где в наборестоит 1 в наборетакже стоит 1, то есть. Но в силу того, чтополучаем противоречие, т.к. значение, в то время как
5) В классе L полной системой является следующая .
Доказательство:
а это и есть все линейные функции.
Базисы в классах T0 , T1, S, M, L