64

4. Функция полезности. Чем температура

отличается от благосостояния?

Одна из важнейших задач экономической теории – измерение уровня благосостояния отдельного человека и общества в целом. Пусть индивид потребляет два товара, скажем мясо и шоколад, а его денежный доход фиксирован. Если мясо подорожало на 20%, а шоколад на 15%, то, очевидно, в этой ситуации его реальное благосостояние и реальный доход уменьшились. А что мы можем сказать, если мясо подорожало на 20%, а шоколад подешевел на 35%? Здесь, без специального исследования, заранее невозможно утверждать, выросло или снизилось реальное благосостояние этого человека. Требуются данные о его предпочтениях. Эта информация о предпочтении человека отражается в его функции полезности, которая измеряет собой уровень реального благосостояния потребителя.

Функция u(x) называется функцией полезности, если она приписывает значения полезности

(«баллы» или «очки») товарному набору, её аргументами являются количества потребляемых благ. Например, если мы пишем: u(5, 24) = 55 , то это можно прочесть так: полезность 5

яблок и 24 апельсинов равна для человека 55 ютилям. «Ютиль» - это искусственная единица полезности, происходит от английского слова utility, что означает «полезность». Иными словами, мы можем сказать, что реальное благосостояние человека, потребляющего 5 яблок и 24 апельсина, равно 55 ютилям, или 55 единицам полезности. Другой более простой пример: пусть у потребителя 3 снова альтернативы: пойти в кино, пойти в кафе, пойти в театр. Чтобы сделать выбор, человек приписывает этим трём альтернативам очки или баллы, скажем, товарный набор «пойти в кино» = 10 баллов, «пойти в кафе» = 25 баллов или очков, «пойти в театр» = 2 балла или очка. Количество баллов тогда показывает степень важности для человека того или иного варианта выбора или степень удовлетворения, которую он получит, если пойдёт в кино, кафе или театр. В нашем примере потребитель выберет поход в кафе, так как полезность от этой альтернативы равна самой высокой величине – 25 баллов или «ютилей». Функция полезности точно отображает предпочтение человека:

для любых наборов товаров x и y: x y u(x) ≥ u( y)

Словами: набор x не хуже, чем набор y, если и только если полезность набора x не меньше полезности набора y. По аналогии:

66

венного благосостояния получил название «утилитаристская функции общественного благосостояния».

Критика в адрес умозрительной концепции кардиналистов началась не намного позже, чем появилась сама эта теория. Одними из первых экономистов, провозгласивших новый подход, были Фрэнсис Эджуорт и Вильфредо Парето, которые и ввели графики кривых безразличия в экономический анализ.

Ординализм. Начиная с 30-х гг. XX века, распространяется новый, ординалистский подход к анализу благосостояния, развитый Д. Хиксом и Р. Алленом (революция Аллена-Хикса). Исходя из идей В. Парето, Ф. Эджуорта и российского математика-экономиста Е. Слуцкого, эти экономисты предложили в качестве основного инструмента анализа кривые безразличия, а функцию полезности стали рассматривать лишь как удобное и в чём-то даже излишнее представление предпочтения человека. Соответственно, предполагалось существование бесконечного множества (а не одного, как у кардиналистов) методов построения функции полезности, или просто бесконечного множества функций полезности, представляющих предпочтение данного человека. Теперь нельзя было однозначно утверждать, что благосостояние человека равно, скажем, 55 ютилям. Можно предложить несколько методов расчёта. Грубо говоря, ситуация выглядит как в следующей таблице.

Мы видим, что четыре товарных набора: A, B, C, D: A лучше B, B лучше C, C лучше D, представлены совершенно корректно тремя разными функциями полезности. И нельзя однозначно предпочесть ни один из этих трёх методов построения функции полезности. Ситуация напоминает понятие температуры в физике: её можно измерить самыми различными способами. Существует две известные шкалы температуры: Цельсия и Фаренгейта. Какая из них правильная? Очевидно, обе являются правильными шкалами, каждая из которых является линейной трансформацией или линейной функцией от другой шкалы. Если по Цельсию сегодня температура выше, чем вчера, то и по Фаренгейту то же самое. Вопрос лишь в удобстве использования шкалы. Можно предложить бесконечное множество подобных шкал температуры. Кроме градуса – единицы измерения, в физике оперируют понятием абсолют-

67

ного нуля температуры. Примерно похожая ситуация в микроэкономике: здесь абсолютный нуль полезности, или благосостояния, может приписываться нулевому товарному набору, когда человек ничего не потребляет. Однако нет абсолютного критерия, почему нуль полезности должен быть при таком, а не при другом товарном наборе. И нет пока единого общепринятого метода построения функции полезности.

В ординалистской трактовке понятие полезности полностью потеряло свое субъективнопсихологическое значение: полезность лишь показывает уровень реального благосостояния человека. Абсолютный ординализм также не признаёт никакой возможности сравнения полезностей различных потребителей: для произвольных товарных наборов нельзя сказать ни на сколько, ни во сколько раз полезность Ивана выше, чем у Петра. Соответственно, в ординализме нет однозначного метода измерения совокупного общественного благосостояния, нет единой функции общественного благосостояния. Заметим, однако, что фактически покупаемые товарные наборы всегда могут сравниваться потребителями, и они обычно оценивают то благосостояние как высокое, при котором стоимость товарного набора, фактически купленного на рынке, выше. Например, если доход у Ивана 3000 руб., а у Петра 6000 руб., то из того факта, что на рынке цены на одинаковые товары одни и те же, вытекает, что и Иван, и Пётр будут рассматривать товарный набор Петра как более предпочтительный, стало быть, благосостояние Петра будет ими обоими рассматриваться как более высокое, чем благосостояние Ивана. Однако эта оценка относится лишь к особенным: к фактически купленным товарным наборам. Для остальных товарных наборов такая сравнительная оценка в большинстве случаев не возможна.

Существование функции полезности было показано Жераром Дебре (Нобелевским лауреатом по экономике). Его открытие формулируется следующим образом.

Теорема 4.1. Пусть предпочтение человека непрерывно и рационально (полное и транзитивное). Тогда существует непрерывная функция полезности, представляющая данное предпочтение человека.

Мы сейчас представим идею доказательства, не углубляясь в технические нюансы этой теоремы. Пусть предпочтения человека строго монотонны, для упрощения. Рассмотрим луч, выходящий из начала координат, на рисунке внизу это луч R (пусть это будет биссектриса соответствующего прямого угла). Из свойств непрерывности и строгой монотонности следует, что существует единственная точка пересечения этого луча с каждой данной кривой безразличия. Тогда припишем каждой кривой безразличия число, равное расстоянию между началом координат О и точкой пересечения этой кривой безразличия с лучом R. Это число – длина отрезка ОА - и будет мерой полезности для любого товарного набора, находящегося на кривой безразличия, проходящей через А.

69

u = min{x1; x2 }

Эта функция названа в честь В. Леонтьева – известного русского экономиста, лауреата Нобелевской премии по экономике. Если человек имеет 3 правых ботинка и 2 левых ботинка, то его полезность по формуле равна минимуму из 3 и 2, то есть 2. Это значит, что он может с пользой потребить лишь две пары ботинок. В общем случае функция В. Леонтьева имеет вид:

u = mini {ai xi }

Функция полезности Кобба-Дугласа (для независимых благ) имеет вид: u = Ax1α x2β

Путём монотонной трансформации эту функцию можно привести к эквивалентному виду: u = x1α x12−α

Эти две функции отображают одни и те же предпочтения (рассчитайте предельные нормы замещения). Функция названа в честь американцев Кобба и Дугласа, предложивших подобную функцию в 1928 г. как простейшую форму производственной функции.

Более сложные виды функций полезности, отображающих наличие несовершенных дополнителей и несовершенных заменителей, изучаются в продвинутых курсах микроэкономики.

Предельная полезность i-го товара MUi показывает (для дискретного товара), на сколько единиц изменится общая полезность товарного набора для человека при увеличении потребления данного i-го товара на одну единицу, при прочих равных условиях. Предельная полезность дискретного блага есть дополнительная полезность от потребления ещё одной единицы этого блага. Математически предельная полезность определяется следующей формулой:

Для делимого товара предельная полезность рассчитывается путём взятия бесконечно малого изменения потребления первого товара:

Таким образом, для делимого товара предельная полезность показывает, на сколько бесконечно малых единиц изменится (увеличится) общая полезность от потребления товарного набора при увеличении потребления данного i-го товара на бесконечно малую единицу, при прочих равных условиях.

В качестве примера рассчитаем предельную полезность для функции Кобба-Дугласа u = x1α x12−α :

70

MU1 =αx1α−1 x12−α

MU2 = (1 −α)x1α x2−α

Принцип убывания предельной полезности. Это один из старейших принципов экономи-

ческой теории, был предложен экономистами ещё в XIX веке. Объяснить его можно на простом примере. Пусть предпочтения человека фиксированы. Также предположим, что этот потребитель имеет фиксированное количество всех товаров, кроме одного – яблок. Количество яблок изменяется. Если человек съел первое яблоко, его полезность (отдача) от него максимальная – первое яблоко самое вкусное. Если он ест второе яблоко, то оно также приносит ему пользу, но уже меньшую, чем первое яблоко: второе яблоко уже не кажется таким вкусным, как первое. Третье яблоко также добавляет полезность человеку, но эта дополнительная полезность уже не значительна. Четвёртое яблоко даёт совсем очень малую полезность. Пятое яблоко безразлично для этого потребителя: его полезность нулевая. Наконец, шестое яблоко приводит к несварению желудка, и потребитель вынужден отправится в больницу. Такова история, рассказываемая западными экономистами. Мы можем отнестись к ней, как к сказке, но тот факт, что дополнительная, добавочная полезность от потребления товара убывает, не вызывает сомнения, его можно даже проверить путём эксперимента.

Маршаллианский спрос. Простейший метод нахождения предельной полезности. Мож-

но доказать, что следующий эксперимент приводит к практически точному построению предельной полезности конкретного потребителя. Пусть Иван имеет 40 апельсинов, или 200 рублей денег, однако у него совсем нет яблок (пусть он любит и яблоки, и апельсины). Будем спрашивать его, какое количество апельсинов по их рыночной стоимости или сколько рублей он готов отдать за первое яблоко, которое мы ему можем предложить. Предположим, что Иван будет говорить правду. Скажем, он готов по максимуму отказаться от 12 рублей (или от 4 апельсинов) ради первого яблока. Эти 12 рублей составляют резервную цену первого яблока для Ивана. Другими словами, при цене выше 12 рублей он откажется от покупки первого яблока. За второе яблоко он готов отдать максимум 10 рублей (примерно 3 апельсина, если один апельсин стоит 3 рубля), за третье – 9 рублей, за четвёртое – 8 и т.д. Результаты нашего эксперимента изобразим в виде простого графика, на котором будем откладывать количество яблок по горизонтали и их резервные цены – по вертикали.

71

P

12

10 D

9

8

А

4

4

X

Рис. 4.2

Если рыночная цена обмена для потребителей составляет 4 р. за яблоко, то на графике видно, что Иван заинтересован приобрести ровно 5 яблок, для шестого яблока его резервная цена меньше 4 рублей, то есть Иван готов отказаться от суммы, намного меньшей, чем рыночная цена, равная 4 рублям. Стало быть, ему не выгодно потребление шестого яблока. Каждая ступенька графика – резервная цена – также показывает предельную полезность от потребления дополнительного яблока, измеренную в деньгах. Действительно, пусть количество апельсинов не меняется, то есть соблюдается требование «при прочих равных условиях». Если Иван готов отдать за первое яблоко по максимуму 12 рублей, то его полезность от потребления этого первого яблока или предельная полезность и есть 12 р. Если рыночная цена яблок выше 12 рублей, то ясно, что Иван не будет покупать яблоки: ценность первого яблока для него ровно 12 рублей, и он отдаст, скажем, 14 рублей за то, что имеет ценность для него, равную 12 рублям. Если рыночная цена обмена ниже 12 р., то Иван обязательно выразит желание купить первое яблоко, оно даёт ему «выигрыш» от обмена. И т.д. до тех пор, пока он не купит все 5 яблок.

Мы получили ступенчатую линию, напоминающую график кривой спроса для дискретного блага. Но, в отличие от Вальрасовского спроса, практически не наблюдаемого в действительности (этот спрос показывает предполагаемые или планируемые, а не фактические покупки или фактическое потребление), здесь мы наблюдаем кривую Маршаллианского (или Маршаллова) спроса, являющуюся графиком фактических резервных цен. Основное различие между двумя кривыми спроса состоит в том, что в Вальрасовской теории величина спроса зависит от заданных для потребителя рыночных (резервных) цен, в то время как на кривой Маршаллианского спроса, наоборот, резервная цена потребителя зависит от его потребления или спроса на товар X. Имеет ли значение это различие между двумя кривыми спроса, если на каждой кривой спроса расположены резервные цены? Да, имеет. Вальрасовская кривая спроса показывает предполагаемые покупки, которые в случае возможного неравновесия

72

никогда не могут быть реализованы; Маршаллова кривая спроса показывает фактические покупки и фактические резервные цены. При этом потребление другого товара (апельсинов, или запасы денег) на этих кривых совершенно разное для одного и того же количества первого товара – яблок в примере, в силу этого один и тот же потребитель имеет разные резервные цены.

Определение. Предпочтения человека являются квазилинейными относительно второго товара, если кривые безразличия представляют собой параллельно сдвинутые относительно вертикальной оси линии или кривые. Совершенные заменители представляют собой пример квазилинейных предпочтений, так как кривые безразличия в этом случае – параллельные отрезки прямых.

Теорема 4.1. Пусть предпочтения потребителя квазилинейны относительно второго товара. Тогда его Вальрасовская и Маршаллова кривые спроса на первый товар всегда совпадают.

Конечно, квазилинейные предпочтения соответствуют некоторому фантастическому предположению; на практике они не встречаются, за исключением случая с товарами – совершенными заменителями. Если человек имеет квазилинейные предпочтения, то в широком диапазоне цен увеличение его дохода должно вести к росту потребления лишь второго товара, первый товар нейтрален к доходу. Но большинство товаров в разумных интервалах цен не нейтральны к доходу потребителей, и предпочтения потребителей на практике, конечно, не квазилинейны. Поэтому различение между Вальрасовской и Маршалловой теорией спроса имеет принципиальное значение, особенно в нашем анализе измерения общественного благосостояния с точки зрения его зависимости от изменения благосостояния отдельных экономических агентов.

Мы рассмотрели эксперимент, позволяющий условно рассчитать предельную полезность индивида от потребления какого-либо блага, в нашем случае – яблок. Общую полезность Ивана от потребления всех 5 яблок рассчитать теперь не трудно. Необходимо лишь сложить площадь под первыми пятью столбиками: под цифрами 12, 10, 9, 8, 4. Получится 43 – это и есть полезность Ивана, или его реальное благосостояние при потреблении 5 яблок и (возможно), 40 апельсинов (если они все не израсходованы).

Взаимосвязь между MRS и MU.