где =rsinα — плечо силы относительно точки O, — длина пер-

пендикуляра, опущенного из точки O на прямую, вдоль которой действует сила.

Пара сил.

Две равные по величине и противоположно направленные силы

Таким образом, изменение момента импульса возникает вслендствие приложения момента силы. Уравнение

ddtM = r × F = N

представляет собой основное уравнение динамики вращательного движения.

1.10. Вращательное движение твердого тела

Твердое тело — это система материальных точек, расстояние между которыми остается неизменным при взаимодействии сис-

36

темы с другими телами. Движение твердого тела бывает поступательным и вращательным. Всякое движение твердого тела можно представить как сумму движения названных двух типов. Покажем это для случая плоского движения, т. е. такого, при котором все точки тела перемещаются в параллельных плоскостях. В качестве примера плоского движения возьмем качение цилиндра по плоскости (рис.).

Качение цилиндра по плоскости. Стрелками обозначены линейные скорости различных точек цилиндра.

Скорость каждой точки цилиндра может быть представлена в виде:

v = v0 +v′

где v0 — скорость поступательного движения, одинаковая для всех точек тела, а v' линейная скорость точки, обусловленная вращением тела и разная для разных точек тела. Линейная скорость

точки с радиусом-вектором r v′ =ω ×r .

Таким образом, скорость точки при сложном движении тела имеет вид:

Отсюда следует, что существуют точки, суммарная скорость которых равна нулю относительно неподвижной системы отсчета (рис.). Скорость точки А цилиндра равна нулю относительно неподвижной системы отсчета

Геометрическое место точек, неподвижных в каждый рассмат-

37

риваемый момент времени, образует прямую, которая является мгновенной осью вращения (рис.).

Проекции всех векторов r, лежащих на прямой 00', одинаковы. Прямая. 00' образует мгновенную ось вращения цилиндра.

В случае цилиндра, перемещающегося по плоскости, мгновенная ось совпадает с линией касания цилиндра плоскости. Видно, что мгновенная ось вращения не остается постоянной, а перемещается по мере движения тела. Скорости всех точек тела в каждый мо-

мент времени можно считать обусловленными вращением вокруг соответствующей мгновенной оси. Таким образом, плоское движение твердого тела можно рассматривать как ряд последовательных вращении вокруг мгновенных осей. В общем случае движение тела можно представлять как вращение вокруг мгновенной оси и одновременно поступательное движение вдоль этой же оси.

1.10.1 Момент инерции твердого тела

Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться относительно некоторой оси (рис.). Момент импульса i-й точки тела относительно этой оси определяется формулой:

Выражая линейную скорость точки через угловую скорость тела и используя свойства

векторного произведения, получим

Спроектируем момент импульса на ось вращения: — эта проекция определяет момент относительно этой оси. Получим

где zi,- координата i—точки вдоль оси Z, a Ri, — расстояние точки от оси вращения. Суммируя по всем частицам тела, получим момент импульса всего тела относительно оси вращения:

38

является моментом инерции тела относительно оси вращения. Момент импульса тела относительно данной оси вращения принимает, таким образом, вид:

Полученная формула аналогична формуле Pz = mVz для посту-

пательного движения. Роль массы играет момент инерции, роль линейной скорости — угловая скорость. Подставив выражение (1.89) в уравнение для момента импульса (1.78), получим

Ньютона.

В общем случае несимметричного тела вектор M не совпадает по направлению с осью вращения тела и поворачивается вокруг этой ocи вместе с телом, описывая конус. Из соображений симметрии ясно что для однородного тела, симметричного относительно оси вращения, момент импульса относительно точки, лежащей на оси вращения, совпадает с направлением оси вращения.

В этом случае имеет место соотношение:

M = Jω . (1.91)

Из выражения (1.91) следует, что при равенстве нулю момента внешних сил произведение Jω остается постоянным Jω = const и изменение момента инерции влечет за собой соответствующее изменение угловой скорости вращения тела. Этим объясняется известное явление, состоящее в том, что человек, стоящий на вертящейся скамье, разводя руки в стороны либо прижимая их к туловищу, изменяет частоту вращения.

Из полученных выше выражений ясно, что момент инерции является такой же характеристикой свойства инерции макроскопиче-

39

ского тела в отношении вращательного движения, как инертная масса материальной точки в отношении поступательного движения. Из выражения (1.88) следует, что момент инерции вычисляется путем суммирования по всем частицам тела. В случае непрерывного распределения массы тела по его объему естественно перейти от суммирования к интегрированию, вводя плотность тела. Если тело однородно, то плотность определяется отношением массы к объему тела:

Для тела с неравномерно распределенной массой плотность тела в некоторой точке определяется производной

Момент инерции представим в виде:

где ∆V — микроскопический объем, занимаемый точечной массой.

Поскольку твердое тело состоит из большого числа частиц, практически непрерывно заполняющих весь занимаемый телом объем, в выражении (1.94) микроскопический объем можно считать бесконечно малым, в то же время полагая, что точечная масса «размазана» по этому объему. Фактически мы производим сейчас переход от модели точечного распределения масс к модели сплошной среды, какой в действительности и является твердое тело благодаря большой его плотности. Произведенный переход позволяет в формуле (2.94) заменить суммирование по отдельным частицам интегрированием по всему объему тела:

Здесь величины ρ и r являются функциями точки, например, ее

40

декартовых координат.

Формула (1.95) позволяет вычислять моменты инерции тел любой формы. Вычислим в качестве примера момент инерции однородного диска относительно оси, перпендикулярной к плоскости диска и проходящей через его центр (рис.).

Поскольку диск однороден, плотность можно вынести из-под знака интеграла. Элемент объема диска dV = 2πr·b·dr, где b— толщина диска. Таким образом,

где R — радиус диска. Введя массу диска, равную произведению плотности на объем диска π·R2 b, получим:

Нахождение момента инерции диска в рассмотренном примере облегчалось тем, что тело было однородным и симметричным, а момент инерции вычислялся относительно оси симметрии тела. В общем случае вращения тела произвольной формы вокруг произвольной оси, вычисление момента инерции может быть произведено с помощью теоремы Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции J0 относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции тела, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями:

J=J0+ma2. (1.98)

Например, момент инерции диска относительно оси О' в соот-

41